II.1. Intégrales orbitales pondérées
245
ˆ
P
et dont l’intersection avec ˆ
L
coïncide avec celle de ˆ
B
. On peut compléter la
paire ( ˆ
B
, ˆ
T
) en une paire de Borel épinglée ˆ
E
conservée par Γ F , de sorte que sa
restriction à ˆ
L
soit la paire de Borel épinglée de ˆ
L
. De cette paire se déduit une
autre section de Springer pour ˆ
G
dont ˆ
n L est la restriction puisque ˆ
L
est standard
pour cette paire. Soit g ad ∈ ˆ
G
AD tel que ad g ad envoie ˆ
E
sur ˆ
E
. C’est un élément
de ˆ
G
ΓF
AD . D’après [45] lemme 1.6, on peut le relever en un élément g ∈ ˆ
G
ΓF
SC .
Cet élément normalise ˆ
T
donc définit un élément u ∈ W
G
. Par transport de
structure, on a ˆ
n ˆ
L (ω(w)) = gˆ n(u
−1 ω(w)u)g
−1 . Pour u 1 , u 2 ∈ W
G
, on a l’égalité
ˆ
n(u 1 u 2 ) = t(u 1 , u 2 )ˆ n(u 1 )ˆ n(u 2 ) (cf. [59] lemme 2.1.A) où
t(u 1 , u 2 ) =
α>0,u
−1
1 (α)<0,u
−1
2 u
−1
1 (α)>0
ˇ
α(−1).
Ici les α parcourent les racines de ˆ
T
dans ˆ
G
et la positivité est relative à ˆ
B
. On
calcule
ˆ
n(u
−1 ω(w)u) = t(u
−1 , ω(w)u)ˆ n(u
−1 )t(ω(w), u)ˆ n(ω(w))ˆ n(u),
ˆ
n(u
−1 ) = t(u
−1 , u)ˆ n(u)
−1 ,
d’où
ˆ
n(u
−1 ω(w)u) = t(u
−1 , ω(w)u)t(u
−1 , u)u
−1 (t(ω(w), u))ˆ n(u)
−1 ˆ
n(ω(w))ˆ n(u).
On calcule
t(u
−1 , ω(w)u)t(u
−1 , u) =
α>0,u(α)<0,u −1 ω(w) −1 u(α)<0
ˇ
α(−1).
Mais ce produit est vide. En effet α > 0 équivaut à u(α) > 0 où > est l’ordre
défini par ˆ
B
. Par définition de ce Borel, les conditions u(α) < 0 et u(α) > 0 interdisent à u(α) d’être dans ˆ
L
. Pour les racines hors de ce Levi, ω(w) conserve l’ordre
> . Donc ω(w)
−1 u(α) > 0 puis u
−1 ω(w)
−1 u(α) > 0. Cela démontre l’assertion.
Donc t(u
−1 , ω(w)u)t(u
−1 , u) = 1. On en déduit
ˆ
n ˆ
L (ω(w)) = t(ω(w), u)x
−1 ˆ
n(ω(w))x,
où x = gˆ n(u)
−1 . Cet élément x appartient à ˆ
T
sc ˆ
T
L
sc . Puisque g est fixe par Γ F ,
u l’est aussi. Puisque la section de Springer est équivariante par Γ F , ˆ
n(u) est fixe
par Γ F , donc x aussi. Alors ˆ
n(ω(w))x = ω(x) ◦ w G (x)ˆ n(ω(w)) = w T L (x)ˆ n(ω(w)).
D’où
ˆ
n ˆ
L (ω(w)) = t(ω(w), u)x
−1 w T L (x)ˆ n(ω(w)).
Les termes ˆ
r T L ,G (w) et ˆ
r T L ,L (w) sont des produits sur les racines α. En fait,
ˆ
r T L ,L (w) est exactement égal à la contribution à ˆ
r T L ,G (w) des racines dans ˆ
L
.
Comme on l’a remarqué, les racines hors de ce Levi appartiennent à des orbites
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ˆ
P
et dont l’intersection avec ˆ
L
coïncide avec celle de ˆ
B
. On peut compléter la
paire ( ˆ
B
, ˆ
T
) en une paire de Borel épinglée ˆ
E
conservée par Γ F , de sorte que sa
restriction à ˆ
L
soit la paire de Borel épinglée de ˆ
L
. De cette paire se déduit une
autre section de Springer pour ˆ
G
dont ˆ
n L est la restriction puisque ˆ
L
est standard
pour cette paire. Soit g ad ∈ ˆ
G
AD tel que ad g ad envoie ˆ
E
sur ˆ
E
. C’est un élément
de ˆ
G
ΓF
AD . D’après [45] lemme 1.6, on peut le relever en un élément g ∈ ˆ
G
ΓF
SC .
Cet élément normalise ˆ
T
donc définit un élément u ∈ W
G
. Par transport de
structure, on a ˆ
n ˆ
L (ω(w)) = gˆ n(u
−1 ω(w)u)g
−1 . Pour u 1 , u 2 ∈ W
G
, on a l’égalité
ˆ
n(u 1 u 2 ) = t(u 1 , u 2 )ˆ n(u 1 )ˆ n(u 2 ) (cf. [59] lemme 2.1.A) où
t(u 1 , u 2 ) =
α>0,u
−1
1 (α)<0,u
−1
2 u
−1
1 (α)>0
ˇ
α(−1).
Ici les α parcourent les racines de ˆ
T
dans ˆ
G
et la positivité est relative à ˆ
B
. On
calcule
ˆ
n(u
−1 ω(w)u) = t(u
−1 , ω(w)u)ˆ n(u
−1 )t(ω(w), u)ˆ n(ω(w))ˆ n(u),
ˆ
n(u
−1 ) = t(u
−1 , u)ˆ n(u)
−1 ,
d’où
ˆ
n(u
−1 ω(w)u) = t(u
−1 , ω(w)u)t(u
−1 , u)u
−1 (t(ω(w), u))ˆ n(u)
−1 ˆ
n(ω(w))ˆ n(u).
On calcule
t(u
−1 , ω(w)u)t(u
−1 , u) =
α>0,u(α)<0,u −1 ω(w) −1 u(α)<0
ˇ
α(−1).
Mais ce produit est vide. En effet α > 0 équivaut à u(α) > 0 où > est l’ordre
défini par ˆ
B
. Par définition de ce Borel, les conditions u(α) < 0 et u(α) > 0 interdisent à u(α) d’être dans ˆ
L
. Pour les racines hors de ce Levi, ω(w) conserve l’ordre
> . Donc ω(w)
−1 u(α) > 0 puis u
−1 ω(w)
−1 u(α) > 0. Cela démontre l’assertion.
Donc t(u
−1 , ω(w)u)t(u
−1 , u) = 1. On en déduit
ˆ
n ˆ
L (ω(w)) = t(ω(w), u)x
−1 ˆ
n(ω(w))x,
où x = gˆ n(u)
−1 . Cet élément x appartient à ˆ
T
sc ˆ
T
L
sc . Puisque g est fixe par Γ F ,
u l’est aussi. Puisque la section de Springer est équivariante par Γ F , ˆ
n(u) est fixe
par Γ F , donc x aussi. Alors ˆ
n(ω(w))x = ω(x) ◦ w G (x)ˆ n(ω(w)) = w T L (x)ˆ n(ω(w)).
D’où
ˆ
n ˆ
L (ω(w)) = t(ω(w), u)x
−1 w T L (x)ˆ n(ω(w)).
Les termes ˆ
r T L ,G (w) et ˆ
r T L ,L (w) sont des produits sur les racines α. En fait,
ˆ
r T L ,L (w) est exactement égal à la contribution à ˆ
r T L ,G (w) des racines dans ˆ
L
.
Comme on l’a remarqué, les racines hors de ce Levi appartiennent à des orbites