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Chapitre II. Enoncés des résultats
où ˆ
V 12 = ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 )
−1 ˆ
p 2 ( ˆ
V 2 ). Le tore dual ˆ
T
M
12 est le quotient de ˆ
T
M
1 × ˆ
T
M
2 × ˆ
T
M par
le groupe {(t 1 , t 2 , t) ∈ ˆ
T
M
; t 1 t 2 t = 1} plongé par (t 1 , t 2 , t) → ( ˆ
ξ 1 (t 1 ), ˆ
ξ 2 (t 2 ), t).
Le tore ˆ
S 12 est le sous-tore de ˆ
T
M
12 × ˆ
T
L
12 × ˆ
T sc formé des (t
M , t
L , t sc ) tels que
j(t sc ) = t
M (t
L )
−1 (les notations sont adaptées de [I] 2.2 ; il faut aussi mettre sur
ce tore une action galoisienne définie comme dans ce paragraphe). Notons ˆ
V
M
12 ,
ˆ
V
L
12 et ˆ
V 12,sc les trois composantes de ˆ
V 12 .
Calculons ˆ
V
L
12 (w) pour w ∈ W F . Il convient de choisir (g(w), w) ∈ G
( ˜
ζ) tel
que ad g(w) ◦w G = w G ( ˜
ζ) et (g z (w), w) ∈ G
(z ˜
ζ) tel que ad gz(w) ◦w G = w G (z ˜
ζ) .
Puisque G
( ˜
ζ) = ˆ
G
( ˜
ζ)R
, on peut certainement supposer que (g(w), w) appartient à R
. On pose plutôt g(w) = r(w) ∈ ˆ
R. Puisque ˆ
G
( ˜
ζ) et ˆ
G
(z ˜
ζ) ont en
commun le Levi standard ˆ
M
, on peut supposer que leurs actions galoisiennes
coïncident sur ce Levi. Donc g z (w) = m
(w)r(w), avec m
(w) ∈ Z( ˆ
M
). Puisque
ce groupe est produit de Z( ˆ
M
)
0 et de Z( ˆ
G
(z ˜
ζ)) et que l’on peut modifier g z (w)
par un élément de ce dernier groupe, on peut même supposer m
(w) ∈ Z( ˆ
M
)
0 .
On pose ˆ
ξ 1 (r(w), w) = (ζ 1 (w), w), ˆ
ξ 2 (m
(w)r(w), w) = (ζ 2 (w), w). On a ˆ
V
L
12 (w) =
(ζ 1 (w)
−1 , ζ 2 (w), t T L ,1 (w)
−1 t T L ,2 (w)) (ici encore, on affecte d’un indice 1, resp. 2,
le terme provenant des données en ˜
ζ, resp. z ˜
ζ). Dans les termes t T L ,i (w) interviennent des termes ˆ
n(ω T L (w)) et ˆ
r T L (w). Ce sont les mêmes pour i = 1, 2 et ils
disparaissent dans le quotient ci-dessus. De même, les termes r(w) disparaissent.
Donc
(15)
t T L ,1 (w)
−1 t T L ,2 (w) = ˆ
r T L ,G ( ˜
ζ) (w)ˆ n G ( ˜
ζ) (ω T L ,G ( ˜
ζ) (w))m
(w)
−1
ˆ
n G (z ˜
ζ) (ω T L ,G (z ˜
ζ) (w))
−1 ˆ
r T L ,G (z ˜
ζ) (w)
−1 .
Considérons les termes ˆ
r T L ,G ( ˜
ζ) (w) et ˆ
n G ( ˜
ζ) (ω T L ,G ( ˜
ζ) (w)). En remplaçant
dans leurs définitions ˆ
G
( ˜
ζ) par ˆ
L
( ˜
ζ) et en utilisant la paire de Borel épinglée
de ce groupe que l’on a fixée plus haut, on obtient des termes ˆ
r T L ,L ( ˜
ζ) (w) et
ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w)). Montrons que :
(16) il existe x ∈ ˆ
T
L
sc tel que
ˆ
r T L ,G ( ˜
ζ) (w)ˆ n G ( ˜
ζ) (ω T L ,G ( ˜
ζ) (w))
= xw T L (x)
−1 ˆ
r T L ,L ( ˜
ζ) (w)ˆ n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))
pour tout w ∈ W F .
On supprime les ˜
ζ le temps de cette preuve. Si ˆ
L
était standard dans ˆ
G
,
les termes pour ˆ
G
et ˆ
L
seraient égaux et l’assertion serait claire. En tout cas,
on a l’égalité ω T L ,G (w) = ω T L ,L (w) par définition. Notons simplement ω(w) =
ω T L ,G (w) et ˆ
n = ˆ
n G . La section de Springer ˆ
n est relative à la paire de Borel
épinglée fixée ˆ
E
de ˆ
G
. Notons ( ˆ
B
, ˆ
T
) la paire de Borel sous-jacente à ˆ
E
. On
rappelle que ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
et ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 . Fixons un sous-groupe parabolique ˆ
P
∈
P
ˆ
G
( ˆ
L
) invariant par Γ F . Notons ˆ
B
le sous-groupe de Borel de ˆ
G
contenu dans
Chapitre II. Enoncés des résultats
où ˆ
V 12 = ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 )
−1 ˆ
p 2 ( ˆ
V 2 ). Le tore dual ˆ
T
M
12 est le quotient de ˆ
T
M
1 × ˆ
T
M
2 × ˆ
T
M par
le groupe {(t 1 , t 2 , t) ∈ ˆ
T
M
; t 1 t 2 t = 1} plongé par (t 1 , t 2 , t) → ( ˆ
ξ 1 (t 1 ), ˆ
ξ 2 (t 2 ), t).
Le tore ˆ
S 12 est le sous-tore de ˆ
T
M
12 × ˆ
T
L
12 × ˆ
T sc formé des (t
M , t
L , t sc ) tels que
j(t sc ) = t
M (t
L )
−1 (les notations sont adaptées de [I] 2.2 ; il faut aussi mettre sur
ce tore une action galoisienne définie comme dans ce paragraphe). Notons ˆ
V
M
12 ,
ˆ
V
L
12 et ˆ
V 12,sc les trois composantes de ˆ
V 12 .
Calculons ˆ
V
L
12 (w) pour w ∈ W F . Il convient de choisir (g(w), w) ∈ G
( ˜
ζ) tel
que ad g(w) ◦w G = w G ( ˜
ζ) et (g z (w), w) ∈ G
(z ˜
ζ) tel que ad gz(w) ◦w G = w G (z ˜
ζ) .
Puisque G
( ˜
ζ) = ˆ
G
( ˜
ζ)R
, on peut certainement supposer que (g(w), w) appartient à R
. On pose plutôt g(w) = r(w) ∈ ˆ
R. Puisque ˆ
G
( ˜
ζ) et ˆ
G
(z ˜
ζ) ont en
commun le Levi standard ˆ
M
, on peut supposer que leurs actions galoisiennes
coïncident sur ce Levi. Donc g z (w) = m
(w)r(w), avec m
(w) ∈ Z( ˆ
M
). Puisque
ce groupe est produit de Z( ˆ
M
)
0 et de Z( ˆ
G
(z ˜
ζ)) et que l’on peut modifier g z (w)
par un élément de ce dernier groupe, on peut même supposer m
(w) ∈ Z( ˆ
M
)
0 .
On pose ˆ
ξ 1 (r(w), w) = (ζ 1 (w), w), ˆ
ξ 2 (m
(w)r(w), w) = (ζ 2 (w), w). On a ˆ
V
L
12 (w) =
(ζ 1 (w)
−1 , ζ 2 (w), t T L ,1 (w)
−1 t T L ,2 (w)) (ici encore, on affecte d’un indice 1, resp. 2,
le terme provenant des données en ˜
ζ, resp. z ˜
ζ). Dans les termes t T L ,i (w) interviennent des termes ˆ
n(ω T L (w)) et ˆ
r T L (w). Ce sont les mêmes pour i = 1, 2 et ils
disparaissent dans le quotient ci-dessus. De même, les termes r(w) disparaissent.
Donc
(15)
t T L ,1 (w)
−1 t T L ,2 (w) = ˆ
r T L ,G ( ˜
ζ) (w)ˆ n G ( ˜
ζ) (ω T L ,G ( ˜
ζ) (w))m
(w)
−1
ˆ
n G (z ˜
ζ) (ω T L ,G (z ˜
ζ) (w))
−1 ˆ
r T L ,G (z ˜
ζ) (w)
−1 .
Considérons les termes ˆ
r T L ,G ( ˜
ζ) (w) et ˆ
n G ( ˜
ζ) (ω T L ,G ( ˜
ζ) (w)). En remplaçant
dans leurs définitions ˆ
G
( ˜
ζ) par ˆ
L
( ˜
ζ) et en utilisant la paire de Borel épinglée
de ce groupe que l’on a fixée plus haut, on obtient des termes ˆ
r T L ,L ( ˜
ζ) (w) et
ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w)). Montrons que :
(16) il existe x ∈ ˆ
T
L
sc tel que
ˆ
r T L ,G ( ˜
ζ) (w)ˆ n G ( ˜
ζ) (ω T L ,G ( ˜
ζ) (w))
= xw T L (x)
−1 ˆ
r T L ,L ( ˜
ζ) (w)ˆ n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))
pour tout w ∈ W F .
On supprime les ˜
ζ le temps de cette preuve. Si ˆ
L
était standard dans ˆ
G
,
les termes pour ˆ
G
et ˆ
L
seraient égaux et l’assertion serait claire. En tout cas,
on a l’égalité ω T L ,G (w) = ω T L ,L (w) par définition. Notons simplement ω(w) =
ω T L ,G (w) et ˆ
n = ˆ
n G . La section de Springer ˆ
n est relative à la paire de Borel
épinglée fixée ˆ
E
de ˆ
G
. Notons ( ˆ
B
, ˆ
T
) la paire de Borel sous-jacente à ˆ
E
. On
rappelle que ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
et ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 . Fixons un sous-groupe parabolique ˆ
P
∈
P
ˆ
G
( ˆ
L
) invariant par Γ F . Notons ˆ
B
le sous-groupe de Borel de ˆ
G
contenu dans