II.1. Intégrales orbitales pondérées
243
On fixe des diagrammes (m
,B
M
,T
M
,B
M ,T
M ,m) et (l
,B
L
,T
L
,B
L ,T
L ,l)
et on utilise ces diagrammes pour calculer les deux facteurs. De même, on utilise les
mêmes a-data et χ-data. On suppose que ces χ-data sont triviales sur les orbites
galoisiennes asymétriques. Montrons que les facteurs Δ II sont les mêmes pour
les deux facteurs. Considérons par exemple les facteurs Δ II,1 (l
, l) et Δ II,2 (l
, l).
Ce sont des produits sur les orbites pour l’action de Γ F dans Σ(T
L ) res,ind . Le
Levi ˆ
L détermine un sous-ensemble Σ
L (T
L ) res,ind ⊂ Σ(T
L ) res,ind . Les contributions de ce sous-ensemble aux deux facteurs sont les mêmes par définition. Pour
α res ∈ Σ(T
L ) res,ind −Σ
L (T
L ) res,ind , l’orbite galoisienne de α res est asymétrique (un
sous-groupe parabolique ˆ
P ∈ P( ˆ
L) invariant par Γ F détermine une partition de
Σ(T
L ) res,ind − Σ
L (T
L ) res,ind en deux ensembles opposés invariants par Γ F ). Puisqu’on a supposé les χ-data triviales sur les orbites asymétriques, la contribution
de Σ(T
L ) res,ind − Σ
L (T
L ) res,ind est égale à 1. Cela démontre l’assertion. Donc
(13)
Δ 1 (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2 (m
2 , m; l
2 , l)
−1
= Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 .
Le tore U = (T
M
sc × T
L
sc )/ diag − (Z(G SC )) qui intervient dans les définitions est
le même pour les deux facteurs. Le cocycle V à valeurs dans ce tore est aussi le
même. Les termes à valeurs dans ˆ
U sont ζ = (ζ sc , ζ sc ) pour le facteur Δ 1,imp et
zζ = (z sc ζ sc , z sc ζ sc ) pour le facteur Δ 2,imp , où on a écrit ˜
ζ = ζ ˆ
θ. Les tores S 1 et S 2
sont différents. Introduisons le tore T
M
12 produit fibré de T
M
1 , T
M
2 et T
M au-dessus
de T
M
et le tore analogue T
L
12 . Notons Z 12 le produit fibré de Z 1 et Z 2 au-dessus de
Z(G). Posons S 12 = (T
M
12 × T
L
12 )/ diag − (Z 12 ). Il y a des homomorphismes naturels
d’oubli d’une série de variables
S 12
p 1
p 2
S 1
S 2 .
Posons ν
M
12 = (μ
M
1 , μ
M
2 , ν
M ) ∈ T
M
12 , définissons de même ν
L
12 , notons ν 12 l’image
de (ν
M
12 , (ν
L
12 )
−1 ) dans S 12 . Alors p i (ν 12 ) = ν i pour i = 1, 2. De plus, le couple
(V, ν 12 ) définit un élément de H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S 12 ). Pour i = 1, 2, on a donc
(V, ν i ) = p i (V, ν 12 ) en notant encore selon notre habitude p i : H
1 (Γ F ; U
1−θ
→
S 12 ) → H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S i ) l’homomorphisme déduit fonctoriellement du p i précédent. Par une propriété de compatibilité, on obtient
Δ i,imp (m
i , m; l
i , l) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(V, ν 12 ), (ˆ p 1 ( ˆ
V 1 ), ζ)
−1
,
si i = 1,
(V, ν 12 ), (ˆ p 2 ( ˆ
V 2 ), zζ)
−1
, si i = 2,
où ˆ
p i : H
1 (W F ; ˆ
S i
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) → H
1 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) est dual de p i . Donc
(14)
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 =
(V, ν 12 ), ( ˆ
V 12 , z)
,
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On fixe des diagrammes (m
,B
M
,T
M
,B
M ,T
M ,m) et (l
,B
L
,T
L
,B
L ,T
L ,l)
et on utilise ces diagrammes pour calculer les deux facteurs. De même, on utilise les
mêmes a-data et χ-data. On suppose que ces χ-data sont triviales sur les orbites
galoisiennes asymétriques. Montrons que les facteurs Δ II sont les mêmes pour
les deux facteurs. Considérons par exemple les facteurs Δ II,1 (l
, l) et Δ II,2 (l
, l).
Ce sont des produits sur les orbites pour l’action de Γ F dans Σ(T
L ) res,ind . Le
Levi ˆ
L détermine un sous-ensemble Σ
L (T
L ) res,ind ⊂ Σ(T
L ) res,ind . Les contributions de ce sous-ensemble aux deux facteurs sont les mêmes par définition. Pour
α res ∈ Σ(T
L ) res,ind −Σ
L (T
L ) res,ind , l’orbite galoisienne de α res est asymétrique (un
sous-groupe parabolique ˆ
P ∈ P( ˆ
L) invariant par Γ F détermine une partition de
Σ(T
L ) res,ind − Σ
L (T
L ) res,ind en deux ensembles opposés invariants par Γ F ). Puisqu’on a supposé les χ-data triviales sur les orbites asymétriques, la contribution
de Σ(T
L ) res,ind − Σ
L (T
L ) res,ind est égale à 1. Cela démontre l’assertion. Donc
(13)
Δ 1 (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2 (m
2 , m; l
2 , l)
−1
= Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 .
Le tore U = (T
M
sc × T
L
sc )/ diag − (Z(G SC )) qui intervient dans les définitions est
le même pour les deux facteurs. Le cocycle V à valeurs dans ce tore est aussi le
même. Les termes à valeurs dans ˆ
U sont ζ = (ζ sc , ζ sc ) pour le facteur Δ 1,imp et
zζ = (z sc ζ sc , z sc ζ sc ) pour le facteur Δ 2,imp , où on a écrit ˜
ζ = ζ ˆ
θ. Les tores S 1 et S 2
sont différents. Introduisons le tore T
M
12 produit fibré de T
M
1 , T
M
2 et T
M au-dessus
de T
M
et le tore analogue T
L
12 . Notons Z 12 le produit fibré de Z 1 et Z 2 au-dessus de
Z(G). Posons S 12 = (T
M
12 × T
L
12 )/ diag − (Z 12 ). Il y a des homomorphismes naturels
d’oubli d’une série de variables
S 12
p 1
p 2
S 1
S 2 .
Posons ν
M
12 = (μ
M
1 , μ
M
2 , ν
M ) ∈ T
M
12 , définissons de même ν
L
12 , notons ν 12 l’image
de (ν
M
12 , (ν
L
12 )
−1 ) dans S 12 . Alors p i (ν 12 ) = ν i pour i = 1, 2. De plus, le couple
(V, ν 12 ) définit un élément de H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S 12 ). Pour i = 1, 2, on a donc
(V, ν i ) = p i (V, ν 12 ) en notant encore selon notre habitude p i : H
1 (Γ F ; U
1−θ
→
S 12 ) → H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S i ) l’homomorphisme déduit fonctoriellement du p i précédent. Par une propriété de compatibilité, on obtient
Δ i,imp (m
i , m; l
i , l) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(V, ν 12 ), (ˆ p 1 ( ˆ
V 1 ), ζ)
−1
,
si i = 1,
(V, ν 12 ), (ˆ p 2 ( ˆ
V 2 ), zζ)
−1
, si i = 2,
où ˆ
p i : H
1 (W F ; ˆ
S i
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) → H
1 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) est dual de p i . Donc
(14)
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 =
(V, ν 12 ), ( ˆ
V 12 , z)
,