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Chapitre II. Enoncés des résultats
L
( ˜
ζ) à ces nouvelles données. Comme ci-dessus, il s’en déduit un isomorphisme
ι(z, ρ)
L,∗ : D
st
g´ eom,λ(z ˜
ζ)1
( ˜
R
(z ˜
ζ) 1 (F )) D
st
g´ eom,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )).
Le transfert commute au recollement donc celui-ci envoie (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 sur
(f ˜
L,ω )
˜
L
( ˜
ζ)1 . Il envoie δ(z ˜
ζ) 1 sur ι(z, ρ)
L,∗ (δ(z ˜
ζ) 1 ) = ι(z, ρ)
L,∗
◦(ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ).
On a donc
(11)
S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ)1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 )
= S
˜
L
( ˜
ζ)1
˜
R ( ˜
ζ)1,λ( ˜
ζ)1
(ι(z, ρ)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ), B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
( ˜
ζ)1 ).
Le composé (ι(z)
M )
−1
◦ι(z, ρ)
L est un automorphisme de C
∞
c,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )). Il est
de la forme ϕ → ˜
λ z,ρ ϕ, où ˜
λ z,ρ est une certaine fonction continue sur ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )
que nous allons calculer. On simplifie les notations en supprimant autant que
possible ˜
ζ et z des notations. On pose ˜
λ = ˜
λ z,ρ . On conserve les indices 1 pour
les termes associés aux données en ˜
ζ et on les convertit en indices 2 pour ceux
associés aux données en z ˜
ζ. Par exemple, on note Δ 1 et Δ 2 les termes notés
précédemment Δ( ˜
ζ) 1 et Δ(z ˜
ζ) 1 . Soit r
1 ∈ ˜
R
1 (F ). Notons r
sa projection dans
˜
R
(F ) et choisissons r
2 ∈ ˜
R
2 (F ) se projetant sur r
. Par définition
˜
λ(r
1 ) = ˜
λ
M (r
1 , r
2 )
−1 ˜
λ
L (r
1 , r
2 ).
Fixons l ∈ ˜
L(F ) semi-simple et assez régulier et l
∈ ˜
L
(F ) de sorte que leurs
classes de conjugaison stable se correspondent. C’est possible puisqu’on a supposé
L
relevant. Fixons des éléments l
1 ∈ ˜
L
1 (F ) et l
2 ∈ ˜
L
2 (F ) se projetant sur l
.
Notons (a 1 , a 2 ) l’élément de L
1 (F ) × L (F ) L
2 (F ) tel que (r
1 , r
2 ) = (a 1 l
1 , a 2 l
2 ). On
a l’égalité
˜
λ
L (r
1 , r
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 ) ˜
λ
L (l
1 , l
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 )Δ 2 (l
2 , l)Δ 1 (l
1 , l)
−1 .
On introduit m ∈ ˜
M (F ), m
1 ∈ ˜
M
1 (F ) et m
2 ∈ ˜
M
2 (F ) vérifiant des conditions
analogues et (b 1 , b 2 ) ∈ M
1 (F ) × M (F ) M
2 (F ) tel que (r
1 , r
2 ) = (b 1 m
1 , b 2 m
2 ). On a
une relation analogue à celle ci-dessus. On se rappelle que Δ i (m
i , m)Δ i (l
i , l)
−1 =
Δ i (m
i , m
; l
i , l
) pour i = 1, 2. On obtient
(12)
˜
λ(r
1 ) = λ
M (b 1 , b 2 )
−1 λ
L (a 1 , a 2 )Δ 1 (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2 (m
2 , m; l
2 , l)
−1 .
On calcule les facteurs de transfert ci-dessus en utilisant les définitions de [I]
2.2. Pour rendre les calculs plus clairs, on modifie les notations de cette référence :
on y avait deux séries d’objets, la deuxième étant soulignée (T , T , etc. . .) ; on
affecte maintenant la première série d’un exposant M et la deuxième série d’un
exposant L ; d’autre part, on conserve les indices 1 pour le facteur Δ 1 et on les
transforme en indices 2 pour le facteur Δ 2 .
Chapitre II. Enoncés des résultats
L
( ˜
ζ) à ces nouvelles données. Comme ci-dessus, il s’en déduit un isomorphisme
ι(z, ρ)
L,∗ : D
st
g´ eom,λ(z ˜
ζ)1
( ˜
R
(z ˜
ζ) 1 (F )) D
st
g´ eom,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )).
Le transfert commute au recollement donc celui-ci envoie (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 sur
(f ˜
L,ω )
˜
L
( ˜
ζ)1 . Il envoie δ(z ˜
ζ) 1 sur ι(z, ρ)
L,∗ (δ(z ˜
ζ) 1 ) = ι(z, ρ)
L,∗
◦(ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ).
On a donc
(11)
S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ)1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 )
= S
˜
L
( ˜
ζ)1
˜
R ( ˜
ζ)1,λ( ˜
ζ)1
(ι(z, ρ)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ), B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
( ˜
ζ)1 ).
Le composé (ι(z)
M )
−1
◦ι(z, ρ)
L est un automorphisme de C
∞
c,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )). Il est
de la forme ϕ → ˜
λ z,ρ ϕ, où ˜
λ z,ρ est une certaine fonction continue sur ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )
que nous allons calculer. On simplifie les notations en supprimant autant que
possible ˜
ζ et z des notations. On pose ˜
λ = ˜
λ z,ρ . On conserve les indices 1 pour
les termes associés aux données en ˜
ζ et on les convertit en indices 2 pour ceux
associés aux données en z ˜
ζ. Par exemple, on note Δ 1 et Δ 2 les termes notés
précédemment Δ( ˜
ζ) 1 et Δ(z ˜
ζ) 1 . Soit r
1 ∈ ˜
R
1 (F ). Notons r
sa projection dans
˜
R
(F ) et choisissons r
2 ∈ ˜
R
2 (F ) se projetant sur r
. Par définition
˜
λ(r
1 ) = ˜
λ
M (r
1 , r
2 )
−1 ˜
λ
L (r
1 , r
2 ).
Fixons l ∈ ˜
L(F ) semi-simple et assez régulier et l
∈ ˜
L
(F ) de sorte que leurs
classes de conjugaison stable se correspondent. C’est possible puisqu’on a supposé
L
relevant. Fixons des éléments l
1 ∈ ˜
L
1 (F ) et l
2 ∈ ˜
L
2 (F ) se projetant sur l
.
Notons (a 1 , a 2 ) l’élément de L
1 (F ) × L (F ) L
2 (F ) tel que (r
1 , r
2 ) = (a 1 l
1 , a 2 l
2 ). On
a l’égalité
˜
λ
L (r
1 , r
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 ) ˜
λ
L (l
1 , l
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 )Δ 2 (l
2 , l)Δ 1 (l
1 , l)
−1 .
On introduit m ∈ ˜
M (F ), m
1 ∈ ˜
M
1 (F ) et m
2 ∈ ˜
M
2 (F ) vérifiant des conditions
analogues et (b 1 , b 2 ) ∈ M
1 (F ) × M (F ) M
2 (F ) tel que (r
1 , r
2 ) = (b 1 m
1 , b 2 m
2 ). On a
une relation analogue à celle ci-dessus. On se rappelle que Δ i (m
i , m)Δ i (l
i , l)
−1 =
Δ i (m
i , m
; l
i , l
) pour i = 1, 2. On obtient
(12)
˜
λ(r
1 ) = λ
M (b 1 , b 2 )
−1 λ
L (a 1 , a 2 )Δ 1 (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2 (m
2 , m; l
2 , l)
−1 .
On calcule les facteurs de transfert ci-dessus en utilisant les définitions de [I]
2.2. Pour rendre les calculs plus clairs, on modifie les notations de cette référence :
on y avait deux séries d’objets, la deuxième étant soulignée (T , T , etc. . .) ; on
affecte maintenant la première série d’un exposant M et la deuxième série d’un
exposant L ; d’autre part, on conserve les indices 1 pour le facteur Δ 1 et on les
transforme en indices 2 pour le facteur Δ 2 .