II.1. Intégrales orbitales pondérées
241
Cette égalité montre que X(˜ s) ne dépend que de la classe d’équivalence de la
donnée L
(˜ s). D’où l’assertion (9).
Si L
( ˜
ζ) n’est pas elliptique, la sous-somme sur ˜
s ∈ Z ˜
ζ est nulle. De même,
si L
( ˜
ζ) n’est pas relevant, les fonctions (f ˜
L,ω )
˜
L
(˜ s)1 sont nulles. Supposons L
( ˜
ζ)
elliptique et relevant. Grâce à (9), l’assertion à prouver se réduit à
(10)
z∈Z
S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ)1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 ) = 0.
Fixons z ∈ Z. On va calculer S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 ). Pour
cela, on a besoin de fixer une décomposition z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ) comme dans la
preuve de (9). On a deux données auxiliaires pour M
: les données M
( ˜
ζ) 1 ,. . .
et les données M
(z ˜
ζ) 1 ,. . . D’où une fonction de recollement ˜
λ(z)
M définie sur le
produit fibré de ˜
M
( ˜
ζ) 1 (F ) et ˜
M
(z ˜
ζ) 1 (F ) au-dessus de ˜
M
(F ). On note un tel
produit fibré ˜
M
( ˜
ζ) 1 (F ) × ˜
M (F )
˜
M
(z ˜
ζ) 1 (F ). Par restriction, cette fonction définit
un isomorphisme
ι(z)
M : C
∞
c,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )) C
∞
c,λ(z ˜
ζ)1
( ˜
R
(z ˜
ζ) 1 (F )).
On en déduit un isomorphisme dual
ι(z)
M,∗ : D
st
g´ eom,λ(z ˜
ζ)1
( ˜
R
(z ˜
ζ) 1 (F )) D
st
g´ eom,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )).
Par construction, on a δ( ˜
ζ) 1 = ι(z)
M,∗ (δ(z ˜
ζ) 1 ).
L’action galoisienne sur ˆ
L
( ˜
ζ) est héritée de celle sur ˆ
G
( ˜
ζ). L’intersection de
( ˆ
B, ˆ
T ) avec ˆ
L
( ˜
ζ) est une paire de Borel de ce groupe, invariante pour cette action
et pour laquelle ˆ
R
est standard. On peut compléter cette paire en une paire de
Borel épinglée invariante par Γ F . On effectue la même construction pour ˆ
L
(z ˜
ζ). Il
est loisible de supposer que la restriction de l’épinglage de ce groupe à ˆ
R
coïncide
avec celle de l’épinglage de ˆ
L
( ˜
ζ). Ecrivons z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ) comme dans la preuve
de (9). L’automorphisme ad ρ transporte la paire de Borel de ˆ
L
( ˜
ζ) sur celle de
ˆ
L
(z ˜
ζ). Quitte à multiplier ρ par un élément de Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 , ce qui ne change pas
(1 − ˆ
θ)(ρ), on peut supposer que ad ρ transporte aussi les épinglages. Alors ad ρ
est équivariant pour les actions galoisiennes. On peut identifier les groupes L
( ˜
ζ)
et L
(z ˜
ζ), ainsi que les espaces ˜
L
( ˜
ζ) et ˜
L
(z ˜
ζ). Comme en [I] 2.6, les données
auxiliaires L
(z ˜
ζ) 1 ,. . . pour L
(z ˜
ζ) se transportent en des données auxiliaires pour
L
( ˜
ζ). C’est-à-dire que, via les isomorphismes précédents, on considère L
(z ˜
ζ) 1
comme une extension de L
( ˜
ζ) et ˜
L
(z ˜
ζ) 1 comme un espace au-dessus de ˜
L
( ˜
ζ).
On complète ces données par le plongement
L
( ˜
ζ)
adρ
→ L
(z ˜
ζ)
ˆ
ξ(z ˜
ζ)1
→
L L
(z ˜
ζ) 1
et par le facteur de transfert Δ(z ˜
ζ) 1 . Il y a une fonction de recollement ˜
λ(z, ρ)
L
définie sur ˜
L
( ˜
ζ) 1 (F ) × ˜
L ( ˜
ζ)(F )
˜
L
(z ˜
ζ) 1 (F ) qui fait passer des données choisies pour
241
Cette égalité montre que X(˜ s) ne dépend que de la classe d’équivalence de la
donnée L
(˜ s). D’où l’assertion (9).
Si L
( ˜
ζ) n’est pas elliptique, la sous-somme sur ˜
s ∈ Z ˜
ζ est nulle. De même,
si L
( ˜
ζ) n’est pas relevant, les fonctions (f ˜
L,ω )
˜
L
(˜ s)1 sont nulles. Supposons L
( ˜
ζ)
elliptique et relevant. Grâce à (9), l’assertion à prouver se réduit à
(10)
z∈Z
S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ)1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 ) = 0.
Fixons z ∈ Z. On va calculer S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 ). Pour
cela, on a besoin de fixer une décomposition z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ) comme dans la
preuve de (9). On a deux données auxiliaires pour M
: les données M
( ˜
ζ) 1 ,. . .
et les données M
(z ˜
ζ) 1 ,. . . D’où une fonction de recollement ˜
λ(z)
M définie sur le
produit fibré de ˜
M
( ˜
ζ) 1 (F ) et ˜
M
(z ˜
ζ) 1 (F ) au-dessus de ˜
M
(F ). On note un tel
produit fibré ˜
M
( ˜
ζ) 1 (F ) × ˜
M (F )
˜
M
(z ˜
ζ) 1 (F ). Par restriction, cette fonction définit
un isomorphisme
ι(z)
M : C
∞
c,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )) C
∞
c,λ(z ˜
ζ)1
( ˜
R
(z ˜
ζ) 1 (F )).
On en déduit un isomorphisme dual
ι(z)
M,∗ : D
st
g´ eom,λ(z ˜
ζ)1
( ˜
R
(z ˜
ζ) 1 (F )) D
st
g´ eom,λ( ˜
ζ)1
( ˜
R
( ˜
ζ) 1 (F )).
Par construction, on a δ( ˜
ζ) 1 = ι(z)
M,∗ (δ(z ˜
ζ) 1 ).
L’action galoisienne sur ˆ
L
( ˜
ζ) est héritée de celle sur ˆ
G
( ˜
ζ). L’intersection de
( ˆ
B, ˆ
T ) avec ˆ
L
( ˜
ζ) est une paire de Borel de ce groupe, invariante pour cette action
et pour laquelle ˆ
R
est standard. On peut compléter cette paire en une paire de
Borel épinglée invariante par Γ F . On effectue la même construction pour ˆ
L
(z ˜
ζ). Il
est loisible de supposer que la restriction de l’épinglage de ce groupe à ˆ
R
coïncide
avec celle de l’épinglage de ˆ
L
( ˜
ζ). Ecrivons z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ) comme dans la preuve
de (9). L’automorphisme ad ρ transporte la paire de Borel de ˆ
L
( ˜
ζ) sur celle de
ˆ
L
(z ˜
ζ). Quitte à multiplier ρ par un élément de Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 , ce qui ne change pas
(1 − ˆ
θ)(ρ), on peut supposer que ad ρ transporte aussi les épinglages. Alors ad ρ
est équivariant pour les actions galoisiennes. On peut identifier les groupes L
( ˜
ζ)
et L
(z ˜
ζ), ainsi que les espaces ˜
L
( ˜
ζ) et ˜
L
(z ˜
ζ). Comme en [I] 2.6, les données
auxiliaires L
(z ˜
ζ) 1 ,. . . pour L
(z ˜
ζ) se transportent en des données auxiliaires pour
L
( ˜
ζ). C’est-à-dire que, via les isomorphismes précédents, on considère L
(z ˜
ζ) 1
comme une extension de L
( ˜
ζ) et ˜
L
(z ˜
ζ) 1 comme un espace au-dessus de ˜
L
( ˜
ζ).
On complète ces données par le plongement
L
( ˜
ζ)
adρ
→ L
(z ˜
ζ)
ˆ
ξ(z ˜
ζ)1
→
L L
(z ˜
ζ) 1
et par le facteur de transfert Δ(z ˜
ζ) 1 . Il y a une fonction de recollement ˜
λ(z, ρ)
L
définie sur ˜
L
( ˜
ζ) 1 (F ) × ˜
L ( ˜
ζ)(F )
˜
L
(z ˜
ζ) 1 (F ) qui fait passer des données choisies pour