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Chapitre II. Enoncés des résultats
Ici ˆ
L parcourt l’ensemble des éléments de L( ˆ
R) qui vérifient la condition ci-dessus :
il existe ˆ
Q ∈ P( ˆ
L) qui est invariant par Γ F et ˆ
θ. Fixons ˆ
L. On va montrer que
la sous-somme indexée par ˆ
L dans l’expression ci-dessus est nulle. Si elle est non
nulle, il y a un ˜
s pour lequel (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L (˜ s)1 est non nulle. Cela entraîne que L
(˜ s)
est relevant. A fortiori, ˆ
L correspond à un espace de Levi de ˜
G, ou plus exactement
à une classe de conjugaison de tels Levi. On peut donc fixer un espace de Levi
˜
L de ˜
G et supposer que ˆ
L est le groupe dual de L. Alors L
(˜ s) est une donnée
endoscopique elliptique de (L, ˜
L, a) et on a l’égalité (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L (˜ s)1 = (f ˜
L,ω )
˜
L
(˜ s)1 .
On peut aussi imposer que pour un ˜
s, le produit des coefficients soit non nul. Cela
impose que l’homomorphisme
(Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
× Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ,0 )/ diag − (Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 ) → Z( ˆ
R
)
ΓF ,0
est surjectif et de noyau fini. La condition d’ellipticité imposée à L
(˜ s) entraîne que
l’espace A
L
(˜ s)
R
ne dépend pas de ˜
s. Le coefficient d
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s)) n’en dépend pas
non plus. En notant d sa valeur constante, on obtient une formule parallèle à (4)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
dX(˜ s)S
˜
L
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1,λ(˜ s)1
(δ(˜ s) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(˜ s)1 ),
où X(˜ s) est comme précédemment. Introduisons le groupe Z( ˆ
R) ∗ image réciproque
dans Z( ˆ
R) de (Z( ˆ
R)/(Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF . L’ensemble
(Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (Z( ˆ
L)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R) ∗ )))/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
est un sous-groupe fini de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Il nous suffit de trouver un sousgroupe Z de ce groupe tel que, pour tout ˜
s 0 ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ la sous-somme
sur ˜
s ∈ Z˜ s 0 de l’expression ci-dessus soit nulle. Fixons-donc un tel sous-groupe Z
que nous préciserons plus tard. Pour prouver la nullité ci-dessus, on ne perd pas
grand’chose à supposer que ˜
s 0 = ˜
ζ, ce que nous ferons pour simplifier. On a
(9) pour ˜
s ∈ Z ˜
ζ, les données endoscopiques L
(˜ s) et L
( ˜
ζ) sont équivalentes ; si
ces données sont elliptiques, on a X(˜ s) = X( ˜
ζ).
Preuve. Soit z ∈ Z (ou plus exactement un représentant dans ˆ
G, les éléments
de Z étant des classes modulo Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ ). Ecrivons z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ), avec τ ∈
Z( ˆ
L)
ΓF et ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ . L’automorphisme ad ρ conserve ˆ
L puisque ρ ∈ ˆ
R ⊂ ˆ
L. On a
l’égalité z ˜
ζ = ρτ ˜
ζρ
−1 . Donc ad ρ envoie ˆ
L
(τ ˜
ζ) sur ˆ
L
(z ˜
ζ). Puisque τ ∈ Z( ˆ
L), on a
ˆ
L
(τ ˜
ζ) = ˆ
L
( ˜
ζ) donc ad ρ envoie ˆ
L
( ˜
ζ) sur ˆ
L
(z ˜
ζ). Puisque ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ , ad ρ conserve
R
. Donc ad ρ envoie L
( ˜
ζ) sur L
(z ˜
ζ). Autrement dit ρ définit une équivalence
entre les données L
( ˜
ζ) et L
(z ˜
ζ).
Les calculs conduisant à l’égalité (6) restent valables : ils se placent entièrement dans les groupes duaux et dans ces groupes, la situation n’a pas changé.
Chapitre II. Enoncés des résultats
Ici ˆ
L parcourt l’ensemble des éléments de L( ˆ
R) qui vérifient la condition ci-dessus :
il existe ˆ
Q ∈ P( ˆ
L) qui est invariant par Γ F et ˆ
θ. Fixons ˆ
L. On va montrer que
la sous-somme indexée par ˆ
L dans l’expression ci-dessus est nulle. Si elle est non
nulle, il y a un ˜
s pour lequel (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L (˜ s)1 est non nulle. Cela entraîne que L
(˜ s)
est relevant. A fortiori, ˆ
L correspond à un espace de Levi de ˜
G, ou plus exactement
à une classe de conjugaison de tels Levi. On peut donc fixer un espace de Levi
˜
L de ˜
G et supposer que ˆ
L est le groupe dual de L. Alors L
(˜ s) est une donnée
endoscopique elliptique de (L, ˜
L, a) et on a l’égalité (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L (˜ s)1 = (f ˜
L,ω )
˜
L
(˜ s)1 .
On peut aussi imposer que pour un ˜
s, le produit des coefficients soit non nul. Cela
impose que l’homomorphisme
(Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
× Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ,0 )/ diag − (Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 ) → Z( ˆ
R
)
ΓF ,0
est surjectif et de noyau fini. La condition d’ellipticité imposée à L
(˜ s) entraîne que
l’espace A
L
(˜ s)
R
ne dépend pas de ˜
s. Le coefficient d
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s)) n’en dépend pas
non plus. En notant d sa valeur constante, on obtient une formule parallèle à (4)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
dX(˜ s)S
˜
L
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1,λ(˜ s)1
(δ(˜ s) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(˜ s)1 ),
où X(˜ s) est comme précédemment. Introduisons le groupe Z( ˆ
R) ∗ image réciproque
dans Z( ˆ
R) de (Z( ˆ
R)/(Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF . L’ensemble
(Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (Z( ˆ
L)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R) ∗ )))/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
est un sous-groupe fini de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Il nous suffit de trouver un sousgroupe Z de ce groupe tel que, pour tout ˜
s 0 ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ la sous-somme
sur ˜
s ∈ Z˜ s 0 de l’expression ci-dessus soit nulle. Fixons-donc un tel sous-groupe Z
que nous préciserons plus tard. Pour prouver la nullité ci-dessus, on ne perd pas
grand’chose à supposer que ˜
s 0 = ˜
ζ, ce que nous ferons pour simplifier. On a
(9) pour ˜
s ∈ Z ˜
ζ, les données endoscopiques L
(˜ s) et L
( ˜
ζ) sont équivalentes ; si
ces données sont elliptiques, on a X(˜ s) = X( ˜
ζ).
Preuve. Soit z ∈ Z (ou plus exactement un représentant dans ˆ
G, les éléments
de Z étant des classes modulo Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ ). Ecrivons z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ), avec τ ∈
Z( ˆ
L)
ΓF et ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ . L’automorphisme ad ρ conserve ˆ
L puisque ρ ∈ ˆ
R ⊂ ˆ
L. On a
l’égalité z ˜
ζ = ρτ ˜
ζρ
−1 . Donc ad ρ envoie ˆ
L
(τ ˜
ζ) sur ˆ
L
(z ˜
ζ). Puisque τ ∈ Z( ˆ
L), on a
ˆ
L
(τ ˜
ζ) = ˆ
L
( ˜
ζ) donc ad ρ envoie ˆ
L
( ˜
ζ) sur ˆ
L
(z ˜
ζ). Puisque ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ , ad ρ conserve
R
. Donc ad ρ envoie L
( ˜
ζ) sur L
(z ˜
ζ). Autrement dit ρ définit une équivalence
entre les données L
( ˜
ζ) et L
(z ˜
ζ).
Les calculs conduisant à l’égalité (6) restent valables : ils se placent entièrement dans les groupes duaux et dans ces groupes, la situation n’a pas changé.