II.1. Intégrales orbitales pondérées
239
Notons ˜
R
(F )
in , resp. ˜
R
(F )
out , l’ensemble des γ ∈ ˜
R
(F ) tels que N
˜
R
, ˜
R (γ)
appartient à l’image de N
˜
R , resp. n’appartient pas à cette image. L’ensemble
˜
R
(F ) est union disjointe de ˜
R
(F )
in et ˜
R
(F )
out . Ces deux ensembles sont ouverts, fermés et invariants par conjugaison stable. Parce que R
n’est pas relevant, ˜
R
(F )
in ne contient aucun élément elliptique et fortement ˜
R-régulier ([I]
proposition 1.14). Par linéarité, on peut supposer que le support de δ est formé
d’éléments dont la partie semi-simple appartient à une classe de conjugaison
stable fixée. Supposons que cette classe soit contenue dans ˜
R
(F )
in . Fixons
dans cette classe. Parce que n’appartient pas à un sous-tore tordu elliptique
de ˜
R, l’inclusion A R ⊂ A R est stricte. On introduit le Levi S
de R
tel que
A S = A R . C’est un Levi propre. D’après [I] lemme 5.12, il existe un élément
σ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
S
1 (F )) ⊗ Mes(S
(F ))
∗ tels que δ = σ
R
. Evidemment, le Levi S
est
encore moins relevant que R
. En raisonnant par récurrence sur la dimension de R
,
on peut supposer I
˜
G,E
˜
M
(M
, σ
M
, f ) = 0. Mais I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, σ
M
, f )
et la conclusion cherchée s’ensuit. On est donc ramené au cas
(8) ˆ
R correspond à un espace de Levi ˜
R de ˜
G et le support de δ est contenu dans
l’ensemble ˜
R
(F )
out ci-dessus.
Partons de la formule (1) et introduisons pour chaque ˜
s des données auxiliaires G
(˜ s) 1 , . . . , Δ(˜ s) 1 . On dispose de l’isomorphisme de transition
C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) → C
∞
c,λ(˜ s)1 ( ˜
M
(s) 1 ),
qui se restreint en un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
R
1 (F )) → C
∞
c,λ(˜ s)1 ( ˜
R
(s) 1 (F )).
Par dualité, on a aussi un isomorphisme
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (F )) → D
st
g´ eom,λ(˜ s)1 ( ˜
R
(s) 1 (F )).
Par cet isomorphisme, δ s’identifie à un élément δ(˜ s) 1 de l’espace d’arrivée. Alors
δ
M
s’identifie à (δ(˜ s) 1 )
M
(˜ s)1 . Avec cette définition, la formule (2) reste valable.
Soient ˜
s et ˜
L
˜
s intervenant dans cette formule. La définition de ˜
L n’a plus de sens
puisque ˜
R n’existe plus. Mais on peut définir ˆ
L ∈ L( ˆ
R) comme le commutant de
Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF ,0 dans ˆ
G. C’est un Levi de ˆ
G et il existe un sous-groupe parabolique
ˆ
Q ∈ P( ˆ
L) qui est invariant par Γ F et ˆ
θ. Si G était quasi-déployé, il correspondrait
à ˆ
L un espace de Levi de ˜
G. Mais G n’est pas supposé quasi-déployé. On construit
comme précédemment le triplet L
(˜ s) = (L
(˜ s) = L
˜
s , L
(˜ s), ˜
s). Il est elliptique
pour ˆ
L au sens où Z( ˆ
L
˜
s )
ΓF ,0 = Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ,0 . On regroupe les termes de (2) selon le
Levi ˆ
L et on obtient une formule parallèle à (3) :
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
ˆ
L
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s))S
˜
L
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1,λ(˜ s)1
(δ(˜ s) 1 , B
˜
G , (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L (˜ s)1 ).
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Notons ˜
R
(F )
in , resp. ˜
R
(F )
out , l’ensemble des γ ∈ ˜
R
(F ) tels que N
˜
R
, ˜
R (γ)
appartient à l’image de N
˜
R , resp. n’appartient pas à cette image. L’ensemble
˜
R
(F ) est union disjointe de ˜
R
(F )
in et ˜
R
(F )
out . Ces deux ensembles sont ouverts, fermés et invariants par conjugaison stable. Parce que R
n’est pas relevant, ˜
R
(F )
in ne contient aucun élément elliptique et fortement ˜
R-régulier ([I]
proposition 1.14). Par linéarité, on peut supposer que le support de δ est formé
d’éléments dont la partie semi-simple appartient à une classe de conjugaison
stable fixée. Supposons que cette classe soit contenue dans ˜
R
(F )
in . Fixons
dans cette classe. Parce que n’appartient pas à un sous-tore tordu elliptique
de ˜
R, l’inclusion A R ⊂ A R est stricte. On introduit le Levi S
de R
tel que
A S = A R . C’est un Levi propre. D’après [I] lemme 5.12, il existe un élément
σ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
S
1 (F )) ⊗ Mes(S
(F ))
∗ tels que δ = σ
R
. Evidemment, le Levi S
est
encore moins relevant que R
. En raisonnant par récurrence sur la dimension de R
,
on peut supposer I
˜
G,E
˜
M
(M
, σ
M
, f ) = 0. Mais I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, σ
M
, f )
et la conclusion cherchée s’ensuit. On est donc ramené au cas
(8) ˆ
R correspond à un espace de Levi ˜
R de ˜
G et le support de δ est contenu dans
l’ensemble ˜
R
(F )
out ci-dessus.
Partons de la formule (1) et introduisons pour chaque ˜
s des données auxiliaires G
(˜ s) 1 , . . . , Δ(˜ s) 1 . On dispose de l’isomorphisme de transition
C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) → C
∞
c,λ(˜ s)1 ( ˜
M
(s) 1 ),
qui se restreint en un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
R
1 (F )) → C
∞
c,λ(˜ s)1 ( ˜
R
(s) 1 (F )).
Par dualité, on a aussi un isomorphisme
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (F )) → D
st
g´ eom,λ(˜ s)1 ( ˜
R
(s) 1 (F )).
Par cet isomorphisme, δ s’identifie à un élément δ(˜ s) 1 de l’espace d’arrivée. Alors
δ
M
s’identifie à (δ(˜ s) 1 )
M
(˜ s)1 . Avec cette définition, la formule (2) reste valable.
Soient ˜
s et ˜
L
˜
s intervenant dans cette formule. La définition de ˜
L n’a plus de sens
puisque ˜
R n’existe plus. Mais on peut définir ˆ
L ∈ L( ˆ
R) comme le commutant de
Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF ,0 dans ˆ
G. C’est un Levi de ˆ
G et il existe un sous-groupe parabolique
ˆ
Q ∈ P( ˆ
L) qui est invariant par Γ F et ˆ
θ. Si G était quasi-déployé, il correspondrait
à ˆ
L un espace de Levi de ˜
G. Mais G n’est pas supposé quasi-déployé. On construit
comme précédemment le triplet L
(˜ s) = (L
(˜ s) = L
˜
s , L
(˜ s), ˜
s). Il est elliptique
pour ˆ
L au sens où Z( ˆ
L
˜
s )
ΓF ,0 = Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ,0 . On regroupe les termes de (2) selon le
Levi ˆ
L et on obtient une formule parallèle à (3) :
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
ˆ
L
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s))S
˜
L
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1,λ(˜ s)1
(δ(˜ s) 1 , B
˜
G , (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L (˜ s)1 ).