II.1. Intégrales orbitales pondérées
255
ˆ
T
L
× ˆ
T sc tels que j(t sc ) = t
R
(t
L )
−1 tandis que ˆ
U L = ( ˆ
T
R
× ˆ
T
L
sc )/ diag(Z( ˆ
G SC )).
Pour w ∈ W F , on pose
X L (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w T L (ρ)ρ
−1 , w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ) ∈ ˆ
X L .
Alors (X L , (1, z sc )) définit un élément de H
1 (W F ; ˆ
X L
1− ˆ
θ
→ ˆ
U L ). C’est l’image de
(Y L , z sc ) par l’homomorphisme dual de (25). D’où l’égalité
(V
−1
T L ,ad
, y L ), (Y L , z sc )
=
((V T R
, V
−1
T L ), x L ), (X L , (1, z sc ))
.
Le triplet (ρ, ρ, 1) appartient à ˆ
X L . On peut multiplier (X L , (1, z sc )) par le cobord
de cet élément. On obtient un cocycle qui est l’image par l’homomorphisme naturel
ˆ
U
ΓF
L = H
0 (W F ; ˆ
U L ) → H
1 (W F ; ˆ
X L
1− ˆ
θ
→ ˆ
U L )
de l’élément u L = ((1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1 , z sc (1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1 ) de ˆ
U
ΓF
L . Donc
((V T R
, V
−1
T L ), x L ), (X L , (1, z sc ))
=
(V T R
, V
−1
T L ), u L
.
On sait que ˆ
U
ΓF ,0
L
est contenu dans le noyau de l’accouplement intervenant ici. On
va montrer que u L appartient à ce sous-groupe, ce qui prouvera (24). On écrit
u L = (z
−1
sc , 1)(τ sc , τ sc )
où τ sc = z sc (1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1 . On a supposé z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 , a fortiori z sc ∈
Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 . Le couple (z sc , 1) (ou plutôt son image dans ˆ
U L ) appartient donc à
ˆ
U
ΓF ,0
L . L’élément τ sc a même image que τ dans ˆ
G AD , cf. (9) pour la définition de
τ . D’après la définition de ˆ
U L (qui est un quotient par Z( ˆ
G SC )), on peut aussi
bien remplacer τ sc par un élément quelconque de ˆ
G SC qui a même image que τ
dans ˆ
G AD . Puisque τ ∈ Z( ˆ
L)
ΓF , on peut supposer τ sc ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 . Mais alors
(τ sc , τ sc ) ∈ ˆ
U
ΓF ,0
L . Cela achève la preuve de (24).
Introduisons le groupe R 0 quasi-déployé et dual de ˆ
R
ˆ
θ,0 , c’est-à-dire l’analogue du groupe G 0 de [I] 1.12 quand on remplace ˜
G par ˜
R. Les tores T
R
et T
R
se réalisent naturellement comme sous-tores de R 0 . Pour ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ , le cocycle
w → w G (ρ)ρ
−1 est à valeurs dans Z( ˆ
R 0 ) et définit un caractère de R 0 (F ), cf. [I]
1.13, que l’on note ici χ ρ . Ce caractère se factorise par R 0,ab (F ) et est alors trivial
sur N
R (R ab (F )). Par un calcul déjà fait plusieurs fois, on a
y RR , Y RR = χ ρ (μ
R (μ
R
)
−1 ).
Notons (R 0,ab (F )/N
R (R ab (F )))
∨ le groupe dual du groupe fini
R 0,ab (F )/N
R (R ab (F )).
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ˆ
T
L
× ˆ
T sc tels que j(t sc ) = t
R
(t
L )
−1 tandis que ˆ
U L = ( ˆ
T
R
× ˆ
T
L
sc )/ diag(Z( ˆ
G SC )).
Pour w ∈ W F , on pose
X L (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w T L (ρ)ρ
−1 , w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ) ∈ ˆ
X L .
Alors (X L , (1, z sc )) définit un élément de H
1 (W F ; ˆ
X L
1− ˆ
θ
→ ˆ
U L ). C’est l’image de
(Y L , z sc ) par l’homomorphisme dual de (25). D’où l’égalité
(V
−1
T L ,ad
, y L ), (Y L , z sc )
=
((V T R
, V
−1
T L ), x L ), (X L , (1, z sc ))
.
Le triplet (ρ, ρ, 1) appartient à ˆ
X L . On peut multiplier (X L , (1, z sc )) par le cobord
de cet élément. On obtient un cocycle qui est l’image par l’homomorphisme naturel
ˆ
U
ΓF
L = H
0 (W F ; ˆ
U L ) → H
1 (W F ; ˆ
X L
1− ˆ
θ
→ ˆ
U L )
de l’élément u L = ((1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1 , z sc (1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1 ) de ˆ
U
ΓF
L . Donc
((V T R
, V
−1
T L ), x L ), (X L , (1, z sc ))
=
(V T R
, V
−1
T L ), u L
.
On sait que ˆ
U
ΓF ,0
L
est contenu dans le noyau de l’accouplement intervenant ici. On
va montrer que u L appartient à ce sous-groupe, ce qui prouvera (24). On écrit
u L = (z
−1
sc , 1)(τ sc , τ sc )
où τ sc = z sc (1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1 . On a supposé z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 , a fortiori z sc ∈
Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 . Le couple (z sc , 1) (ou plutôt son image dans ˆ
U L ) appartient donc à
ˆ
U
ΓF ,0
L . L’élément τ sc a même image que τ dans ˆ
G AD , cf. (9) pour la définition de
τ . D’après la définition de ˆ
U L (qui est un quotient par Z( ˆ
G SC )), on peut aussi
bien remplacer τ sc par un élément quelconque de ˆ
G SC qui a même image que τ
dans ˆ
G AD . Puisque τ ∈ Z( ˆ
L)
ΓF , on peut supposer τ sc ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 . Mais alors
(τ sc , τ sc ) ∈ ˆ
U
ΓF ,0
L . Cela achève la preuve de (24).
Introduisons le groupe R 0 quasi-déployé et dual de ˆ
R
ˆ
θ,0 , c’est-à-dire l’analogue du groupe G 0 de [I] 1.12 quand on remplace ˜
G par ˜
R. Les tores T
R
et T
R
se réalisent naturellement comme sous-tores de R 0 . Pour ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ , le cocycle
w → w G (ρ)ρ
−1 est à valeurs dans Z( ˆ
R 0 ) et définit un caractère de R 0 (F ), cf. [I]
1.13, que l’on note ici χ ρ . Ce caractère se factorise par R 0,ab (F ) et est alors trivial
sur N
R (R ab (F )). Par un calcul déjà fait plusieurs fois, on a
y RR , Y RR = χ ρ (μ
R (μ
R
)
−1 ).
Notons (R 0,ab (F )/N
R (R ab (F )))
∨ le groupe dual du groupe fini
R 0,ab (F )/N
R (R ab (F )).