xxvi
Préface
étudie les distributions ω-équivariantes sur ˜
G(F ), c’est-à-dire les formes linéaires
D sur C
∞
c ( ˜
G(F )), continues en un sens convenable si F est archimédien, telles
que D ◦ ad g = ω(g)
−1 D pour tout g ∈ G(F ). Les deux exemples de base de telles
distributions sont les ω-intégrales orbitales et les caractères de ω-représentations
de longueur finie. Rappelons seulement la définition des premières puisque ce sont
elles qui seront le plus étudiées dans ce volume. Elles sont associées à un élément
γ ∈ ˜
G(F ). On note G γ la composante neutre du centralisateur de γ dans G.
Modulo le choix de mesures de Haar, la ω-intégrale orbitale associée à γ est la
distribution
f → I
˜
G (γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Gγ (F )\G(F )
f (g
−1 γg)ω(g) dg,
où D
˜
G (γ)
1/2 est un facteur de normalisation sans mystère (cf. [I] 2.4). En fait, nous
étudierons des généralisations de ces intégrales orbitales : les intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) définies par Arthur. Elles sont associées
à un espace de Levi ˜
M (notion analogue dans le cas tordu aux groupes de Levi
habituels) et à un élément γ ∈ ˜
M (F ).
Considérons le cas où G est quasi-déployé sur F , ˜
G est à torsion intérieure,
ce qui signifie que, pour tout γ ∈ ˜
G, ad γ est un automorphisme intérieur de G, et
où ω = 1. Pour un élément semi-simple fortement régulier γ ∈ ˜
G(F ), on définit
sa classe de conjugaison stable comme l’ensemble des points sur F de sa classe
de conjugaison sur une clôture algébrique de F . Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit
l’intégrale orbitale stable S
˜
G (γ, f ) (on supprime ω de la notation puisque ω = 1)
comme l’intégrale de f non plus sur la classe de conjugaison de γ par G(F ), mais
sur sa classe de conjugaison stable. On dit qu’une distribution est stable si elle
annule toutes les fonctions f dont toutes les intégrales orbitales (semi-simples et
fortement régulières) stables sont nulles. C’est plus restrictif que d’être seulement
invariante par conjugaison par G(F ). Les distributions stables sont censées être
plus compréhensibles, de même qu’il est plus facile de classifier les classes de
conjugaison sur une clôture algébrique que sur F .
Revenons au cas où (G, ˜
G, ω) est quelconque. Le but de la théorie locale
de l’endoscopie est d’exprimer les distributions ω-équivariantes à l’aide d’autres
distributions sur un nombre fini d’espaces tordus associés à (G, ˜
G, ω), ces distributions étant stables. Les espaces tordus qui apparaissent sont attachés aux données
endoscopiques de (G, ˜
G, ω). Une telle donnée G
est un objet assez riche et détermine en tout cas un groupe réductif connexe G
défini et quasi-déployé sur F et
un espace tordu ˜
G
sur G
. Il n’y a plus de caractère et ˜
G
est à torsion intérieure.
Stabiliser une distribution ω-équivariante D sur ˜
G(F ) signifie établir une égalité
D(f ) =
G
c( ˜
G, G
)SD
˜
G
(f
˜
G
),
où G
parcourt un ensemble fini de données endoscopiques de (G, ˜
G, ω), c( ˜
G, G
)
est un certain coefficient explicite, SD
˜
G
est une certaine distribution stable sur
Préface
étudie les distributions ω-équivariantes sur ˜
G(F ), c’est-à-dire les formes linéaires
D sur C
∞
c ( ˜
G(F )), continues en un sens convenable si F est archimédien, telles
que D ◦ ad g = ω(g)
−1 D pour tout g ∈ G(F ). Les deux exemples de base de telles
distributions sont les ω-intégrales orbitales et les caractères de ω-représentations
de longueur finie. Rappelons seulement la définition des premières puisque ce sont
elles qui seront le plus étudiées dans ce volume. Elles sont associées à un élément
γ ∈ ˜
G(F ). On note G γ la composante neutre du centralisateur de γ dans G.
Modulo le choix de mesures de Haar, la ω-intégrale orbitale associée à γ est la
distribution
f → I
˜
G (γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Gγ (F )\G(F )
f (g
−1 γg)ω(g) dg,
où D
˜
G (γ)
1/2 est un facteur de normalisation sans mystère (cf. [I] 2.4). En fait, nous
étudierons des généralisations de ces intégrales orbitales : les intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes f → I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) définies par Arthur. Elles sont associées
à un espace de Levi ˜
M (notion analogue dans le cas tordu aux groupes de Levi
habituels) et à un élément γ ∈ ˜
M (F ).
Considérons le cas où G est quasi-déployé sur F , ˜
G est à torsion intérieure,
ce qui signifie que, pour tout γ ∈ ˜
G, ad γ est un automorphisme intérieur de G, et
où ω = 1. Pour un élément semi-simple fortement régulier γ ∈ ˜
G(F ), on définit
sa classe de conjugaison stable comme l’ensemble des points sur F de sa classe
de conjugaison sur une clôture algébrique de F . Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on définit
l’intégrale orbitale stable S
˜
G (γ, f ) (on supprime ω de la notation puisque ω = 1)
comme l’intégrale de f non plus sur la classe de conjugaison de γ par G(F ), mais
sur sa classe de conjugaison stable. On dit qu’une distribution est stable si elle
annule toutes les fonctions f dont toutes les intégrales orbitales (semi-simples et
fortement régulières) stables sont nulles. C’est plus restrictif que d’être seulement
invariante par conjugaison par G(F ). Les distributions stables sont censées être
plus compréhensibles, de même qu’il est plus facile de classifier les classes de
conjugaison sur une clôture algébrique que sur F .
Revenons au cas où (G, ˜
G, ω) est quelconque. Le but de la théorie locale
de l’endoscopie est d’exprimer les distributions ω-équivariantes à l’aide d’autres
distributions sur un nombre fini d’espaces tordus associés à (G, ˜
G, ω), ces distributions étant stables. Les espaces tordus qui apparaissent sont attachés aux données
endoscopiques de (G, ˜
G, ω). Une telle donnée G
est un objet assez riche et détermine en tout cas un groupe réductif connexe G
défini et quasi-déployé sur F et
un espace tordu ˜
G
sur G
. Il n’y a plus de caractère et ˜
G
est à torsion intérieure.
Stabiliser une distribution ω-équivariante D sur ˜
G(F ) signifie établir une égalité
D(f ) =
G
c( ˜
G, G
)SD
˜
G
(f
˜
G
),
où G
parcourt un ensemble fini de données endoscopiques de (G, ˜
G, ω), c( ˜
G, G
)
est un certain coefficient explicite, SD
˜
G
est une certaine distribution stable sur