Préface
xxvii
˜
G
(F ) similaire à D et f
˜
G
est une certaine fonction sur ˜
G
(F ) associée à f , appelée
un transfert de f . L’existence de ce transfert endoscopique est conséquence des
travaux de Shelstad dans le cas d’un corps archimédien (cf. [74]), de Ngo Bao
Chau dans le cas d’un corps p-adique.
Signalons tout de suite que cette présentation est grandement simplifiée.
D’abord, dans le cas où F = R, il est parfois nécessaire de considérer ensemble
plusieurs formes intérieures du groupe G : ce sont les K-groupes d’Arthur, ici
les K-espaces. On expliquera au chapitre I pourquoi leur introduction est utile,
cf. [I] 1.11 et [I] 4.9. Mais ce n’est qu’une difficulté mineure. D’ailleurs, les développements récents de la théorie des représentations suggèrent qu’il est parfois
plus compréhensible de considérer simultanément plusieurs formes intérieures d’un
même groupe (cf. les «stacks» de J. Bernstein ou Y. Sakellaridis). Plus perturbant
est le fait que les transferts que l’on a noté ici f
˜
G
vivent en général non pas sur ˜
G
,
mais sur une donnée auxiliaire ˜
G
1 , laquelle est un espace tordu sur une extension
G
1 de G
par un tore central.
Le premier chapitre expose la théorie de l’endoscopie tordue sur un corps
local, due à Kottwitz et Shelstad (cf. [48]) et à Labesse. On s’est attaché à formaliser la question des données auxiliaires évoquée ci-dessus de sorte à obtenir une
présentation qui les rende aussi invisibles que possible. On s’est aussi intéressé aux
questions de choix de mesures : la théorie de l’endoscopie est en fait indépendante
de tout choix de mesures. On donne une présentation formelle qui met cela en
évidence. Cela montrera plus tard que, contrairement à une croyance répandue, la
stabilisation de la formule des traces est elle-aussi parfaitement indépendante de
tout choix de mesures.
Les chapitres II, III et V traitent de la stabilisation des intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) (le corps F est p-adique dans les chapitres
II et III, il est archimédien dans le chapitre V). Le procédé de stabilisation est
un peu plus compliqué que celui évoqué ci-dessus car il intervient à la fois des
données endoscopiques pour (G, ˜
G, ω) et de telles données pour le «triplet de
Levi» (M, ˜
M , ω). Nous établissons la stabilisation de ces intégrales dans le cas où
G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et ω = 1. Dans le cas général, cette
stabilisation est le point clé de celle de la formule des traces et elle nécessite un
difficile argument global. Elle ne sera menée à bien que dans le second volume
([X] 7.7). Ici, nous montrons seulement que, pour stabiliser les distributions f →
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) pour γ quelconque, il suffit de le faire dans le cas où γ est semisimple et fortement régulier. L’intérêt de cette réduction est que seuls les éléments
semi-simples et fortement réguliers peuvent être traités par la méthode globale du
chapitre [X].
Le chapitre intermédiaire IV contient quelques résultats sur le cas F = R.
On reformule un théorème de Paley–Wiener dû à Renard et on en donne une
version stable. En conséquence, on obtient des résultats sur les ω-représentations
elliptiques analogues à ceux obtenus par Arthur dans son article [13] et on montre
que le transfert est compatible à la K-finitude.
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G
(F ) similaire à D et f
˜
G
est une certaine fonction sur ˜
G
(F ) associée à f , appelée
un transfert de f . L’existence de ce transfert endoscopique est conséquence des
travaux de Shelstad dans le cas d’un corps archimédien (cf. [74]), de Ngo Bao
Chau dans le cas d’un corps p-adique.
Signalons tout de suite que cette présentation est grandement simplifiée.
D’abord, dans le cas où F = R, il est parfois nécessaire de considérer ensemble
plusieurs formes intérieures du groupe G : ce sont les K-groupes d’Arthur, ici
les K-espaces. On expliquera au chapitre I pourquoi leur introduction est utile,
cf. [I] 1.11 et [I] 4.9. Mais ce n’est qu’une difficulté mineure. D’ailleurs, les développements récents de la théorie des représentations suggèrent qu’il est parfois
plus compréhensible de considérer simultanément plusieurs formes intérieures d’un
même groupe (cf. les «stacks» de J. Bernstein ou Y. Sakellaridis). Plus perturbant
est le fait que les transferts que l’on a noté ici f
˜
G
vivent en général non pas sur ˜
G
,
mais sur une donnée auxiliaire ˜
G
1 , laquelle est un espace tordu sur une extension
G
1 de G
par un tore central.
Le premier chapitre expose la théorie de l’endoscopie tordue sur un corps
local, due à Kottwitz et Shelstad (cf. [48]) et à Labesse. On s’est attaché à formaliser la question des données auxiliaires évoquée ci-dessus de sorte à obtenir une
présentation qui les rende aussi invisibles que possible. On s’est aussi intéressé aux
questions de choix de mesures : la théorie de l’endoscopie est en fait indépendante
de tout choix de mesures. On donne une présentation formelle qui met cela en
évidence. Cela montrera plus tard que, contrairement à une croyance répandue, la
stabilisation de la formule des traces est elle-aussi parfaitement indépendante de
tout choix de mesures.
Les chapitres II, III et V traitent de la stabilisation des intégrales orbitales
pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) (le corps F est p-adique dans les chapitres
II et III, il est archimédien dans le chapitre V). Le procédé de stabilisation est
un peu plus compliqué que celui évoqué ci-dessus car il intervient à la fois des
données endoscopiques pour (G, ˜
G, ω) et de telles données pour le «triplet de
Levi» (M, ˜
M , ω). Nous établissons la stabilisation de ces intégrales dans le cas où
G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et ω = 1. Dans le cas général, cette
stabilisation est le point clé de celle de la formule des traces et elle nécessite un
difficile argument global. Elle ne sera menée à bien que dans le second volume
([X] 7.7). Ici, nous montrons seulement que, pour stabiliser les distributions f →
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) pour γ quelconque, il suffit de le faire dans le cas où γ est semisimple et fortement régulier. L’intérêt de cette réduction est que seuls les éléments
semi-simples et fortement réguliers peuvent être traités par la méthode globale du
chapitre [X].
Le chapitre intermédiaire IV contient quelques résultats sur le cas F = R.
On reformule un théorème de Paley–Wiener dû à Renard et on en donne une
version stable. En conséquence, on obtient des résultats sur les ω-représentations
elliptiques analogues à ceux obtenus par Arthur dans son article [13] et on montre
que le transfert est compatible à la K-finitude.