Préface
La formule des traces est l’un des outils les plus puissants de la théorie des formes
automorphes. Elle a été établie en toute généralité par Arthur, sous différentes
formes. Nous considérons la forme dite invariante. Dans l’ouvrage fondateur [57],
Langlands a formulé l’objectif de «stabiliser» cette formule. Cette stabilisation est
profondément reliée à la structure des «paquets» de représentations automorphes.
Elle permet d’établir certains cas de fonctorialité. Ces cas sont évidemment très
élémentaires au regard des conjectures générales mais sont tout de même assez
consistants. De plus, établir la version stable de la formule des traces semble être
un préalable indispensable à l’utilisation de cette formule dans l’optique de ces
conjectures générales. Pour la formule des traces ordinaire (non tordue), la stabilisation a été obtenue par Arthur dans les trois articles [18], [19], [20]. On sait
toutefois qu’une généralisation de la formule des traces, dite tordue, permet d’obtenir des cas de fonctorialité inaccessibles à la formule des traces ordinaire. La
situation tordue permet ainsi de traiter le «changement de base» (cf. [58], [24]).
Elle permet aussi de décrire le spectre discret des groupes classiques à partir de
celui des groupes linéaires généraux. Cette description a été obtenue par Arthur
il y a quelques années dans un livre retentissant [23]. Arthur y admet la stabilisation de la formule des traces pour un groupe GL n tordu par un automorphisme
extérieur. C’est ce qui nous a décidé, selon la suggestion de L. Clozel, à établir la
stabilisation de la formule des traces tordue en toute généralité. La preuve sera
donnée dans le second volume de ce livre et nous en parlerons davantage dans
l’introduction de celui-ci. Le présent volume contient cinq chapitres préparatoires
locaux.
Nos données de départ sont un corps local F de caractéristique nulle, un
groupe réductif connexe G défini sur F , un espace tordu ˜
G sur G et un caractère ω de G(F ). On emprunte la terminologie d’espace tordu à Labesse. Si l’on
préfère, on peut fixer un automorphisme θ de G défini sur F . L’espace tordu associé est l’ensemble ˜
G = Gθ, qui est muni des actions de G à gauche et à droite
définies par (g, γ = xθ, g
) → γ
= gxθ(g
)θ. Pour g ∈ G, on note ad g l’automorphisme γ → gγg
−1 de ˜
G et, pour γ ∈ ˜
G, on note ad γ l’automorphisme de
G tel que ad γ (g)γ = γg pour tout g ∈ G. Introduisons l’espace C
∞
c ( ˜
G(F )) des
fonctions sur ˜
G(F ) à valeurs complexes qui sont lisses et à support compact (lisse
signifie C
∞ si F est archimédien et localement constante si F est p-adique). On
xxv
La formule des traces est l’un des outils les plus puissants de la théorie des formes
automorphes. Elle a été établie en toute généralité par Arthur, sous différentes
formes. Nous considérons la forme dite invariante. Dans l’ouvrage fondateur [57],
Langlands a formulé l’objectif de «stabiliser» cette formule. Cette stabilisation est
profondément reliée à la structure des «paquets» de représentations automorphes.
Elle permet d’établir certains cas de fonctorialité. Ces cas sont évidemment très
élémentaires au regard des conjectures générales mais sont tout de même assez
consistants. De plus, établir la version stable de la formule des traces semble être
un préalable indispensable à l’utilisation de cette formule dans l’optique de ces
conjectures générales. Pour la formule des traces ordinaire (non tordue), la stabilisation a été obtenue par Arthur dans les trois articles [18], [19], [20]. On sait
toutefois qu’une généralisation de la formule des traces, dite tordue, permet d’obtenir des cas de fonctorialité inaccessibles à la formule des traces ordinaire. La
situation tordue permet ainsi de traiter le «changement de base» (cf. [58], [24]).
Elle permet aussi de décrire le spectre discret des groupes classiques à partir de
celui des groupes linéaires généraux. Cette description a été obtenue par Arthur
il y a quelques années dans un livre retentissant [23]. Arthur y admet la stabilisation de la formule des traces pour un groupe GL n tordu par un automorphisme
extérieur. C’est ce qui nous a décidé, selon la suggestion de L. Clozel, à établir la
stabilisation de la formule des traces tordue en toute généralité. La preuve sera
donnée dans le second volume de ce livre et nous en parlerons davantage dans
l’introduction de celui-ci. Le présent volume contient cinq chapitres préparatoires
locaux.
Nos données de départ sont un corps local F de caractéristique nulle, un
groupe réductif connexe G défini sur F , un espace tordu ˜
G sur G et un caractère ω de G(F ). On emprunte la terminologie d’espace tordu à Labesse. Si l’on
préfère, on peut fixer un automorphisme θ de G défini sur F . L’espace tordu associé est l’ensemble ˜
G = Gθ, qui est muni des actions de G à gauche et à droite
définies par (g, γ = xθ, g
) → γ
= gxθ(g
)θ. Pour g ∈ G, on note ad g l’automorphisme γ → gγg
−1 de ˜
G et, pour γ ∈ ˜
G, on note ad γ l’automorphisme de
G tel que ad γ (g)γ = γg pour tout g ∈ G. Introduisons l’espace C
∞
c ( ˜
G(F )) des
fonctions sur ˜
G(F ) à valeurs complexes qui sont lisses et à support compact (lisse
signifie C
∞ si F est archimédien et localement constante si F est p-adique). On
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