VI.3. Endoscopie
659
(ii) On a l’égalité
Δ(δ 1 , γ)Δ(δ 1 , γ)
−1 =
v∈Val(F )
Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ).
(iii) Le terme Δ(δ 1 , γ) ne dépend pas des données auxiliaires utilisées pour le
définir.
Preuve. Dans la construction de Δ(δ 1 , γ), on a utilisé une paire de Borel épinglée E
∗ définie sur ¯
F , une cochaîne u E ∗ à valeurs dans G SC ( ¯
F ), un élément
e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; ¯
F ) et un élément e
1 ∈ Z( ˜
G
1 ; ¯
F ). Les choix des termes u E ∗ , e et e
1
n’influent pas sur Δ(δ 1 , γ). En effet, le choix de u E ∗ ne change pas l’action galoisienne σ → σ G ∗ . On ne peut modifier u E ∗ que par des éléments qui appartiennent
à Z(G SC ; ¯
F ), donc à T sc ( ¯
F ), et de tels termes ne changent pas l’image de V T dans
T sc (A ¯
F )/T sc ( ¯
F ). De même, on ne peut modifier le couple (e, e
1 ) que par un élément
du produit fibré de Z(G; ¯
F ) et Z(G
1 ; ¯
F ) au-dessus de Z(G
; ¯
F ), ce qui ne modifie pas l’image de ν 1 modulo T 1 ( ¯
F ). Dans la construction de Δ(δ 1 , γ 1 ), on utilise
d’autres données E
∗ , u E ∗ , e, e
1 . On peut fixer r ∈ G SC ( ¯
F ) qui conjugue E
∗ en E
∗ .
D’après ce que l’on vient de dire, on peut supposer que u E ∗ (σ) = ru E ∗ (σ)σ(r)
−1
pour tout σ ∈ Γ F et que e = ad r (e). On peut alors supposer que e
1 = e
1 , puisque
e et e ont alors la même image e
dans Z( ˜
G
; ¯
F ).
On peut aussi modifier la définition de V T (et aussi de V T ) de la façon suivante. A l’aide des a-data globales que l’on a fixées, on peut définir une cochaîne
r T comme dans le cas local, cf. [I] 2.2. On peut alors définir V T par
V T (σ) = r T (σ)n E ∗ (ω T (σ))u E ∗ (σ)σ(g)g
−1 .
En effet, on passe de la définition précédente à celle-ci en multipliant à gauche par
r T (σ)n E ∗ (ω T (σ))σ G ∗ (x)x
−1 . Par définition de x, c’est un élément de T sc ( ¯
F ). Il ne
modifie donc pas l’image de V T modulo ce groupe.
Ces modifications étant faites, on a l’égalité
Δ imp (δ 1 , γ)Δ imp (δ 1 , γ)
−1 =
((V T , V
−1
T ), (ν 1 , ν
−1
1 )), (( ˆ
V T1 , ˆ
V T 1 ), (s ad , s ad ))
−1
,
le produit étant celui sur
H
1,0 (A F /F ; (T sc × T sc )
1−θ
→ (T 1 × T 1 )) × H
1,0 (W F ; ( ˆ
T 1 × ˆ
T 1 )
1− ˆ
θ
→ ( ˆ
T ad × ˆ
T ad )).
On introduit les tores U et S 1 de [I] 2.2. Dans cette référence, le tore U est
égal à ad g −1 (T ) × ad g −1 (T ))/ diag − (Z(G SC )), mais on peut l’identifier à (T ×
T )/ diag − (Z(G SC )). De même pour S 1 . Alors les deux tores sont définis sur F .
Rappelons que ˆ
S 1 est le tore des (t, t, t sc ) ∈ ˆ
T 1 × ˆ
T 1 × ˆ
T sc tels que j(t sc ) = tt
−1 ,
où on a identifié ˆ
T et ˆ
T à un tore commun (muni de deux actions galoisiennes en
général distinctes) et où j : ˆ
T sc → ˆ
T est l’homomorphisme naturel. La structure
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(ii) On a l’égalité
Δ(δ 1 , γ)Δ(δ 1 , γ)
−1 =
v∈Val(F )
Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ).
(iii) Le terme Δ(δ 1 , γ) ne dépend pas des données auxiliaires utilisées pour le
définir.
Preuve. Dans la construction de Δ(δ 1 , γ), on a utilisé une paire de Borel épinglée E
∗ définie sur ¯
F , une cochaîne u E ∗ à valeurs dans G SC ( ¯
F ), un élément
e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; ¯
F ) et un élément e
1 ∈ Z( ˜
G
1 ; ¯
F ). Les choix des termes u E ∗ , e et e
1
n’influent pas sur Δ(δ 1 , γ). En effet, le choix de u E ∗ ne change pas l’action galoisienne σ → σ G ∗ . On ne peut modifier u E ∗ que par des éléments qui appartiennent
à Z(G SC ; ¯
F ), donc à T sc ( ¯
F ), et de tels termes ne changent pas l’image de V T dans
T sc (A ¯
F )/T sc ( ¯
F ). De même, on ne peut modifier le couple (e, e
1 ) que par un élément
du produit fibré de Z(G; ¯
F ) et Z(G
1 ; ¯
F ) au-dessus de Z(G
; ¯
F ), ce qui ne modifie pas l’image de ν 1 modulo T 1 ( ¯
F ). Dans la construction de Δ(δ 1 , γ 1 ), on utilise
d’autres données E
∗ , u E ∗ , e, e
1 . On peut fixer r ∈ G SC ( ¯
F ) qui conjugue E
∗ en E
∗ .
D’après ce que l’on vient de dire, on peut supposer que u E ∗ (σ) = ru E ∗ (σ)σ(r)
−1
pour tout σ ∈ Γ F et que e = ad r (e). On peut alors supposer que e
1 = e
1 , puisque
e et e ont alors la même image e
dans Z( ˜
G
; ¯
F ).
On peut aussi modifier la définition de V T (et aussi de V T ) de la façon suivante. A l’aide des a-data globales que l’on a fixées, on peut définir une cochaîne
r T comme dans le cas local, cf. [I] 2.2. On peut alors définir V T par
V T (σ) = r T (σ)n E ∗ (ω T (σ))u E ∗ (σ)σ(g)g
−1 .
En effet, on passe de la définition précédente à celle-ci en multipliant à gauche par
r T (σ)n E ∗ (ω T (σ))σ G ∗ (x)x
−1 . Par définition de x, c’est un élément de T sc ( ¯
F ). Il ne
modifie donc pas l’image de V T modulo ce groupe.
Ces modifications étant faites, on a l’égalité
Δ imp (δ 1 , γ)Δ imp (δ 1 , γ)
−1 =
((V T , V
−1
T ), (ν 1 , ν
−1
1 )), (( ˆ
V T1 , ˆ
V T 1 ), (s ad , s ad ))
−1
,
le produit étant celui sur
H
1,0 (A F /F ; (T sc × T sc )
1−θ
→ (T 1 × T 1 )) × H
1,0 (W F ; ( ˆ
T 1 × ˆ
T 1 )
1− ˆ
θ
→ ( ˆ
T ad × ˆ
T ad )).
On introduit les tores U et S 1 de [I] 2.2. Dans cette référence, le tore U est
égal à ad g −1 (T ) × ad g −1 (T ))/ diag − (Z(G SC )), mais on peut l’identifier à (T ×
T )/ diag − (Z(G SC )). De même pour S 1 . Alors les deux tores sont définis sur F .
Rappelons que ˆ
S 1 est le tore des (t, t, t sc ) ∈ ˆ
T 1 × ˆ
T 1 × ˆ
T sc tels que j(t sc ) = tt
−1 ,
où on a identifié ˆ
T et ˆ
T à un tore commun (muni de deux actions galoisiennes en
général distinctes) et où j : ˆ
T sc → ˆ
T est l’homomorphisme naturel. La structure