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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
dans Z( ˜
G
1 , E). Ecrivons gγg
−1 = νe, δ 1 = μ 1 e
1 . On a ν ∈ T (A E ), μ 1 ∈ T
1 (A E ).
On note ν 1 l’image de (μ 1 , ν) dans T 1 (A ¯
F )/T 1 ( ¯
F ).
Pour deux tores S 1 et S 2 définis sur F et pour un homomorphisme f :
S 1 → S 2 défini sur F , on note selon l’usage H
1,0 (A F /F ; S 1
f
→ S 2 ) le groupe
H
1,0 (Γ F ; S 1 (A ¯
F )/S 1 ( ¯
F )
f
→ S 2 (A ¯
F )/S 1 ( ¯
F )), c’est-à-dire la limite inductive des
H
1,0 (Gal(E
/F ); S 1 (A E )/S 1 (E
)
f
→ S 2 (A E )/S 2 (E
)) sur les extensions galoisiennes finies E
de F . On note aussi Z
1,0 (A F /F ; S 1
f
→ S 2 ) l’ensemble de cocycles
correspondant. On vérifie que le couple (V T , ν 1 ) appartient à Z
1,0 (A F /F ; T sc
1−θ
→
T 1 ). Sa classe dans H
1,0 (A F /F ; T sc
1−θ
→ T 1 ) ne dépend pas du choix de l’élément
g : on ne peut changer g qu’en le multipliant à gauche par un élément de T sc (A E ),
ce qui multiplie V T par un cobord.
Dans le cas local, on a construit en [I] 2.2 (en suivant Kottwitz et Shelstad)
un cocycle ˆ
V T1 de W F dans le tore dual ˆ
T 1 . La même construction vaut dans le
cas global, à condition bien sûr d’utiliser des χ-data globales (c’est-à-dire que les
χ α sont des caractères automorphes d’extensions F α de F ). Comme dans cette
référence, on écrit ˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T . On note s ad l’image de s dans ˆ
T ad . On
vérifie que le couple ( ˆ
V T1 , s ad ) appartient à Z
1,0 (W F ; ˆ
T 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ).
D’après [48] (C.2.3), on dispose d’un accouplement
H
1,0 (A F /F ; T sc
1−θ
→ T 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
T 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ) → C
× ,
que l’on note ., .. On pose
Δ imp (δ 1 , γ) =
(V T , ν 1 ); ( ˆ
V T1 , s ad )
−1
.
On a déjà fixé des χ-data globales pour T . On fixe aussi des a-data globales, c’està-dire que les a α appartiennent à ¯
F
× . On peut alors définir un facteur Δ II (δ, γ)
comme en [I] 2.2. Le point est ici qu’une expression comme (N α)(ν) − 1 est un
élément du groupe d’idèles de l’extension F α parce que (2) entraîne que c’est une
unité pour presque tout v. On pose
Δ(δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ)Δ imp (δ 1 , γ).
On a utilisé de nombreuses données auxiliaires mais on va montrer que Δ(δ 1 , γ)
ne dépend que de δ 1 et γ. Plus généralement, reprenons la construction à partir
d’un autre tore T
vérifiant aussi l’hypothèse (Hyp). On souligne les données relatives à ce nouveau tore. On introduit de nouveaux éléments δ 1 , γ. Pour tout
v ∈ Val(F ), les couples (δ 1,v , γ v ) et (δ 1,v , γ v ) appartiennent à D 1,v , le facteur
Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ) est donc bien défini.
Proposition.
(i) Pour presque tout v, on a Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ) = 1.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
dans Z( ˜
G
1 , E). Ecrivons gγg
−1 = νe, δ 1 = μ 1 e
1 . On a ν ∈ T (A E ), μ 1 ∈ T
1 (A E ).
On note ν 1 l’image de (μ 1 , ν) dans T 1 (A ¯
F )/T 1 ( ¯
F ).
Pour deux tores S 1 et S 2 définis sur F et pour un homomorphisme f :
S 1 → S 2 défini sur F , on note selon l’usage H
1,0 (A F /F ; S 1
f
→ S 2 ) le groupe
H
1,0 (Γ F ; S 1 (A ¯
F )/S 1 ( ¯
F )
f
→ S 2 (A ¯
F )/S 1 ( ¯
F )), c’est-à-dire la limite inductive des
H
1,0 (Gal(E
/F ); S 1 (A E )/S 1 (E
)
f
→ S 2 (A E )/S 2 (E
)) sur les extensions galoisiennes finies E
de F . On note aussi Z
1,0 (A F /F ; S 1
f
→ S 2 ) l’ensemble de cocycles
correspondant. On vérifie que le couple (V T , ν 1 ) appartient à Z
1,0 (A F /F ; T sc
1−θ
→
T 1 ). Sa classe dans H
1,0 (A F /F ; T sc
1−θ
→ T 1 ) ne dépend pas du choix de l’élément
g : on ne peut changer g qu’en le multipliant à gauche par un élément de T sc (A E ),
ce qui multiplie V T par un cobord.
Dans le cas local, on a construit en [I] 2.2 (en suivant Kottwitz et Shelstad)
un cocycle ˆ
V T1 de W F dans le tore dual ˆ
T 1 . La même construction vaut dans le
cas global, à condition bien sûr d’utiliser des χ-data globales (c’est-à-dire que les
χ α sont des caractères automorphes d’extensions F α de F ). Comme dans cette
référence, on écrit ˜
s = s ˆ
θ, avec s ∈ ˆ
T . On note s ad l’image de s dans ˆ
T ad . On
vérifie que le couple ( ˆ
V T1 , s ad ) appartient à Z
1,0 (W F ; ˆ
T 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ).
D’après [48] (C.2.3), on dispose d’un accouplement
H
1,0 (A F /F ; T sc
1−θ
→ T 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
T 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ) → C
× ,
que l’on note ., .. On pose
Δ imp (δ 1 , γ) =
(V T , ν 1 ); ( ˆ
V T1 , s ad )
−1
.
On a déjà fixé des χ-data globales pour T . On fixe aussi des a-data globales, c’està-dire que les a α appartiennent à ¯
F
× . On peut alors définir un facteur Δ II (δ, γ)
comme en [I] 2.2. Le point est ici qu’une expression comme (N α)(ν) − 1 est un
élément du groupe d’idèles de l’extension F α parce que (2) entraîne que c’est une
unité pour presque tout v. On pose
Δ(δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ)Δ imp (δ 1 , γ).
On a utilisé de nombreuses données auxiliaires mais on va montrer que Δ(δ 1 , γ)
ne dépend que de δ 1 et γ. Plus généralement, reprenons la construction à partir
d’un autre tore T
vérifiant aussi l’hypothèse (Hyp). On souligne les données relatives à ce nouveau tore. On introduit de nouveaux éléments δ 1 , γ. Pour tout
v ∈ Val(F ), les couples (δ 1,v , γ v ) et (δ 1,v , γ v ) appartiennent à D 1,v , le facteur
Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ) est donc bien défini.
Proposition.
(i) Pour presque tout v, on a Δ 1,v (δ 1,v , γ v ; δ 1,v , γ v ) = 1.