VI.3. Endoscopie
657
˜
K w s’identifie à K w θ
∗ . Dans cette situation, on a défini en [79, 5.2] la notion d’élément compact de ˜
G(E w ) : un élément est compact si et seulement si le sous-groupe
qu’il engendre dans G
+ (E w ) est d’adhérence compacte. Puisque γ v ∈ ˜
K v ⊂ K w θ
∗
et que K w {1, θ
∗ , . . . , (θ
∗ )
N −1
} est un groupe compact, l’élément γ v est compact.
D’après [79, 5.2], on peut décomposer γ v en uγ v,p , où γ v,p est d’ordre fini premier
à p et u est topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence
du groupe engendré par γ v et sont définis sur F v . Comme on vient de le voir,
l’intersection de cette adhérence avec ˜
G, resp. G, est contenue dans ˜
K w , resp. K w .
Donc γ v,p ∈ ˜
K v et u ∈ K v . Les éléments u et γ v,p commutent entre eux et commutent donc à γ v . Cela entraîne que u ∈ Z G (γ v ; F v ) = T
θ
v (F v ). Ecrivons γ v = t v e v
comme dans la relation (2). Alors γ v,p = u
−1 t v e v . Puisque u est topologiquement
unipotent, les valeurs de (N α)(u) sont des éléments de o w de réduction 1 dans
le corps résiduel E w de o w . Alors la relation (2) est encore vérifiée par γ v,p , a
fortiori γ v,p est régulier. Le lemme [79, 5.4] implique l’existence de k ∈ K
nr
v tel
que ad k (γ v,p ) ∈ T
∗ e. Puisqu’il s’agit d’éléments réguliers, on a automatiquement
l’égalité ad k (T v ) = T
∗ . Donc aussi ad k (γ v ) ∈ T
∗ e. L’automorphisme ad k envoie
B w sur un groupe de Borel contenant T
∗ et conservé par θ
∗ . Un tel groupe est de
la forme ω(B
∗ ), où ω ∈ W
θ . Relevons ω en un élément h ∈ K w ∩ G e . En remplaçant k par h
−1 k, on obtient l’égalité ad k (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). Les théorèmes
de structure de Bruhat-Tits entraînent que tout élément de K
nr
v est produit d’un
élément de T
∗ (o
nr
v ) et d’un élément de K
nr
v,sc . Quitte à multiplier k à gauche par
un élément de T
∗ (o
nr
v ), on peut supposer k ∈ K
nr
v,sc . La relation (4) entraîne que
ad k : T v → T
∗ est équivariant pour l’action de Γ Ew . Pour σ ∈ Gal(F
nr
v /E w ), on
a donc kσ(k)
−1
∈ T
∗
sc ∩ K
nr
v,sc = T
∗
sc (o
nr
v ). On obtient un cocycle de Gal(F
nr
v /E w )
dans T
∗
sc (o
nr
v ). Un tel cocycle est un cobord. Cela signifie que, quite à multiplier
k à gauche par un élément de T
∗
sc (o
nr
v ), on peut supposer kσ(k)
−1 = 1 pour tout
σ ∈ Gal(F
nr
v /E w ). Autrement dit k ∈ K w,sc . Cela prouve (11).
Pour toute place w
de E, on introduit le diagramme (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v )
qui est unique d’après (3). On introduit un élément g w ∈ G SC (E w ) tel que
ad g w (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). On suppose g w ∈ K w ,sc pour toute place w
au-dessus
d’une place v ∈ V
. On pose g = (g w ) w ∈Val(E) . C’est un élément de G SC (A E ).
Pour σ ∈ Γ F , posons
V T (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g)g
−1 .
En utilisant la relation (8), on voit facilement que V T (σ) appartient à T sc (A E )
(c’est-à-dire T
∗
sc (A E ) muni de l’action galoisienne σ → σ T ). Le cobord de la cochaîne V T est égal à celui de σ → u E ∗ (σ) donc prend ses valeurs dans T sc (E).
En poussant V T en une cochaîne à valeurs dans T sc (A E )/T sc (E), V T devient un
cocycle. On peut le considérer comme un cocycle de Γ F dans T sc (A ¯
F )/T sc ( ¯
F ), où
A ¯
F est la limite inductive des A E sur les extensions finies E
de F . Comme en [I]
2.2, notons T 1 le produit fibré de T
1 et T au-dessus de T
. Il est muni de l’action
galoisienne produit de l’action naturelle sur T
1 et de l’action σ → σ T sur T . Notons e
l’image naturelle de e dans Z( ˜
G
) ⊂ ˜
G
et fixons un relèvement e
1 de e
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˜
K w s’identifie à K w θ
∗ . Dans cette situation, on a défini en [79, 5.2] la notion d’élément compact de ˜
G(E w ) : un élément est compact si et seulement si le sous-groupe
qu’il engendre dans G
+ (E w ) est d’adhérence compacte. Puisque γ v ∈ ˜
K v ⊂ K w θ
∗
et que K w {1, θ
∗ , . . . , (θ
∗ )
N −1
} est un groupe compact, l’élément γ v est compact.
D’après [79, 5.2], on peut décomposer γ v en uγ v,p , où γ v,p est d’ordre fini premier
à p et u est topologiquement unipotent. Ces éléments appartiennent à l’adhérence
du groupe engendré par γ v et sont définis sur F v . Comme on vient de le voir,
l’intersection de cette adhérence avec ˜
G, resp. G, est contenue dans ˜
K w , resp. K w .
Donc γ v,p ∈ ˜
K v et u ∈ K v . Les éléments u et γ v,p commutent entre eux et commutent donc à γ v . Cela entraîne que u ∈ Z G (γ v ; F v ) = T
θ
v (F v ). Ecrivons γ v = t v e v
comme dans la relation (2). Alors γ v,p = u
−1 t v e v . Puisque u est topologiquement
unipotent, les valeurs de (N α)(u) sont des éléments de o w de réduction 1 dans
le corps résiduel E w de o w . Alors la relation (2) est encore vérifiée par γ v,p , a
fortiori γ v,p est régulier. Le lemme [79, 5.4] implique l’existence de k ∈ K
nr
v tel
que ad k (γ v,p ) ∈ T
∗ e. Puisqu’il s’agit d’éléments réguliers, on a automatiquement
l’égalité ad k (T v ) = T
∗ . Donc aussi ad k (γ v ) ∈ T
∗ e. L’automorphisme ad k envoie
B w sur un groupe de Borel contenant T
∗ et conservé par θ
∗ . Un tel groupe est de
la forme ω(B
∗ ), où ω ∈ W
θ . Relevons ω en un élément h ∈ K w ∩ G e . En remplaçant k par h
−1 k, on obtient l’égalité ad k (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). Les théorèmes
de structure de Bruhat-Tits entraînent que tout élément de K
nr
v est produit d’un
élément de T
∗ (o
nr
v ) et d’un élément de K
nr
v,sc . Quitte à multiplier k à gauche par
un élément de T
∗ (o
nr
v ), on peut supposer k ∈ K
nr
v,sc . La relation (4) entraîne que
ad k : T v → T
∗ est équivariant pour l’action de Γ Ew . Pour σ ∈ Gal(F
nr
v /E w ), on
a donc kσ(k)
−1
∈ T
∗
sc ∩ K
nr
v,sc = T
∗
sc (o
nr
v ). On obtient un cocycle de Gal(F
nr
v /E w )
dans T
∗
sc (o
nr
v ). Un tel cocycle est un cobord. Cela signifie que, quite à multiplier
k à gauche par un élément de T
∗
sc (o
nr
v ), on peut supposer kσ(k)
−1 = 1 pour tout
σ ∈ Gal(F
nr
v /E w ). Autrement dit k ∈ K w,sc . Cela prouve (11).
Pour toute place w
de E, on introduit le diagramme (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v )
qui est unique d’après (3). On introduit un élément g w ∈ G SC (E w ) tel que
ad g w (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). On suppose g w ∈ K w ,sc pour toute place w
au-dessus
d’une place v ∈ V
. On pose g = (g w ) w ∈Val(E) . C’est un élément de G SC (A E ).
Pour σ ∈ Γ F , posons
V T (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g)g
−1 .
En utilisant la relation (8), on voit facilement que V T (σ) appartient à T sc (A E )
(c’est-à-dire T
∗
sc (A E ) muni de l’action galoisienne σ → σ T ). Le cobord de la cochaîne V T est égal à celui de σ → u E ∗ (σ) donc prend ses valeurs dans T sc (E).
En poussant V T en une cochaîne à valeurs dans T sc (A E )/T sc (E), V T devient un
cocycle. On peut le considérer comme un cocycle de Γ F dans T sc (A ¯
F )/T sc ( ¯
F ), où
A ¯
F est la limite inductive des A E sur les extensions finies E
de F . Comme en [I]
2.2, notons T 1 le produit fibré de T
1 et T au-dessus de T
. Il est muni de l’action
galoisienne produit de l’action naturelle sur T
1 et de l’action σ → σ T sur T . Notons e
l’image naturelle de e dans Z( ˜
G
) ⊂ ˜
G
et fixons un relèvement e
1 de e