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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
envoie l’image de γ v dans l’espace de départ sur l’image de δ v dans l’espace d’arrivée. La définition de l’action galoisienne sur Z( ˜
G) permet d’étendre la relation
(7) à ces applications, c’est-à-dire que l’on a la relation
˜
ξ B w ,Tv,B ,T ◦ τ = τ ◦ ˜
ξ Bw,Tv ,B ,T .
Puisque ˜
ξ Bw,Tv ,B ,T envoie l’image de γ v sur celle de δ v et puisque les éléments
γ v et δ v sont tous deux invariants par τ , la relation ci-dessus implique l’assertion
cherchée. Cela prouve (5).
Définissons un homomorphisme
ξ Tv ,T : T v (E v ) =
w |v
T v (E w ) → T
(E v ) =
w |v
T
(E w )
comme le produit sur les w
divisant v des homomorphismes ξ B w ,Tv,B ,T . On a
(8) ξ Tv ,T est équivariant pour les actions de Gal(E/F ).
Cela résulte de ce que, pour tout w
, l’homomorphisme ξ B w ,Tv ,B ,T est équivariant pour l’action de Γ ¯
v et que l’on a la relation (7) ci-dessus.
Soit v ∈ Val(F ) telle que v ∈ V ram (G
) et v soit non-ramifiée dans E. Rappelons que le sous-groupe compact hyperspécial K v est attaché à un schéma en
groupes K v défini sur l’anneau des entiers o v de F v . Si w
est une place de E
au-dessus de v, posons K w = K v (o w ) et ˜
K w = K w ˜
K v . Alors K w est un sousgroupe compact hyperspécial de G(E w ) et ˜
K w est un sous-espace hyperspécial
de ˜
G(E w ). On note aussi K
nr
v
= K v (o
nr
v ), F
nr
v
étant identifié à une extension
de E w . De K v se déduisent des sous-groupes hyperspéciaux K v,sc de G SC (F v ) et
K v,ad de G AD (F v ) et on utilise pour ces groupes des notations similaires. On peut
fixer un ensemble fini V
de places de F , contenant V et les places ramifiées dans
E, de sorte que, pour v ∈ V
et pour toute place w
de E au-dessus de v, on ait :
– la condition (2) est vérifiée pour v ;
(9) K w est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée
E
∗ ;
(10) e ∈ ˜
K w , x ∈ K w et, pour tout σ ∈ Γ F , u E ∗ (σ) ∈ K w et z(σ) ∈ K w .
Montrons que
(11) pour v ∈ V
et pour toute place w
de E au-dessus de v, il existe g w ∈ K w ,sc
tel que ad g w (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ).
Preuve. On ne perd rien ici à supposer w
= w (qui est la restriction de ¯
v à E).
Fixons un entier N ≥ 1 tel que (θ
∗ )
N = 1. L’hypothèse v ∈ V ram assure que
l’on peut prendre N premier à la caractéristique résiduelle p de F v . Introduisons
le groupe non connexe G
+ = G {1, θ
∗ , . . . , (θ
∗ )
N −1
} défini sur E w . L’espace ˜
G
s’identifie à la composante Gθ
∗ : pour g ∈ G, ge s’identifie à gθ
∗ . Le sous-espace
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
envoie l’image de γ v dans l’espace de départ sur l’image de δ v dans l’espace d’arrivée. La définition de l’action galoisienne sur Z( ˜
G) permet d’étendre la relation
(7) à ces applications, c’est-à-dire que l’on a la relation
˜
ξ B w ,Tv,B ,T ◦ τ = τ ◦ ˜
ξ Bw,Tv ,B ,T .
Puisque ˜
ξ Bw,Tv ,B ,T envoie l’image de γ v sur celle de δ v et puisque les éléments
γ v et δ v sont tous deux invariants par τ , la relation ci-dessus implique l’assertion
cherchée. Cela prouve (5).
Définissons un homomorphisme
ξ Tv ,T : T v (E v ) =
w |v
T v (E w ) → T
(E v ) =
w |v
T
(E w )
comme le produit sur les w
divisant v des homomorphismes ξ B w ,Tv,B ,T . On a
(8) ξ Tv ,T est équivariant pour les actions de Gal(E/F ).
Cela résulte de ce que, pour tout w
, l’homomorphisme ξ B w ,Tv ,B ,T est équivariant pour l’action de Γ ¯
v et que l’on a la relation (7) ci-dessus.
Soit v ∈ Val(F ) telle que v ∈ V ram (G
) et v soit non-ramifiée dans E. Rappelons que le sous-groupe compact hyperspécial K v est attaché à un schéma en
groupes K v défini sur l’anneau des entiers o v de F v . Si w
est une place de E
au-dessus de v, posons K w = K v (o w ) et ˜
K w = K w ˜
K v . Alors K w est un sousgroupe compact hyperspécial de G(E w ) et ˜
K w est un sous-espace hyperspécial
de ˜
G(E w ). On note aussi K
nr
v
= K v (o
nr
v ), F
nr
v
étant identifié à une extension
de E w . De K v se déduisent des sous-groupes hyperspéciaux K v,sc de G SC (F v ) et
K v,ad de G AD (F v ) et on utilise pour ces groupes des notations similaires. On peut
fixer un ensemble fini V
de places de F , contenant V et les places ramifiées dans
E, de sorte que, pour v ∈ V
et pour toute place w
de E au-dessus de v, on ait :
– la condition (2) est vérifiée pour v ;
(9) K w est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée
E
∗ ;
(10) e ∈ ˜
K w , x ∈ K w et, pour tout σ ∈ Γ F , u E ∗ (σ) ∈ K w et z(σ) ∈ K w .
Montrons que
(11) pour v ∈ V
et pour toute place w
de E au-dessus de v, il existe g w ∈ K w ,sc
tel que ad g w (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ).
Preuve. On ne perd rien ici à supposer w
= w (qui est la restriction de ¯
v à E).
Fixons un entier N ≥ 1 tel que (θ
∗ )
N = 1. L’hypothèse v ∈ V ram assure que
l’on peut prendre N premier à la caractéristique résiduelle p de F v . Introduisons
le groupe non connexe G
+ = G {1, θ
∗ , . . . , (θ
∗ )
N −1
} défini sur E w . L’espace ˜
G
s’identifie à la composante Gθ
∗ : pour g ∈ G, ge s’identifie à gθ
∗ . Le sous-espace