VI.3. Endoscopie
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Puisque ad gw (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ), on a ad τ (gw) (τ (B w ), T v ) = τ (B
∗ , T
∗ ).
Donc
ad u E ∗ (τ )τ (gw) (τ (B w ), T v ) = ad u E ∗ (τ ) ◦τ (B
∗ , T
∗ ) = τ G ∗ (B
∗ , T
∗ ) = (B
∗ , T
∗ ).
C’est donc l’isomorphisme ad u E ∗ (τ )τ (gw) qui identifie comme plus haut le groupe
de Weyl W au groupe de Weyl de T v . C’est-à-dire que B w est le groupe de Borel
tel que
ad u E ∗ (τ )τ (gw) (B w , T v ) = ω T (τ )
−1 ad u E ∗ (τ )τ (gw) (τ (B w ), T v ) = ω T (τ )
−1 (B
∗ , T
∗ ).
D’où
ω T (τ ) ad u E ∗ (τ )τ (gw) (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ).
Puisque xτ G ∗ (x)
−1 a pour image ω T (τ ) dans W , on peut remplacer dans l’égalité
ci-dessus ω T (τ ) par ad xτ G ∗ (x) −1 et on obtient (6).
Aux choix des paires de Borel (B
, T
) et (B w , T v ), resp. (B w , T v ), sont
associés des homomorphismes de T v dans T
notés précisément ξ Bw ,Tv ,B ,T et
ξ B w ,Tv ,B ,T . Montrons qu’ils vérifient la relation
(7) ξ B w ,Tv ,B ,T ◦ τ = τ ◦ ξ Bw ,Tv,B ,T .
Les deux homomorphismes sont les restrictions à T v de ξ T ∗ ,T ◦ ad g w , resp.
ξ T ∗ ,T ◦ ad gw . Par définition de g w , on a
ad g w ◦τ = ω T (τ ) ◦ τ G ∗ ◦ ad gw .
Par définition de ω T (τ ), on a aussi
ξ T ∗ ,T ◦ ω T (τ ) ◦ τ G ∗ = τ ◦ ξ T ∗ ,T .
La relation (7) en résulte.
Pour prouver (5), on doit d’abord montrer que l’homomorphisme
ξ B w ,Tv,B ,T : T v → T
est équivariant pour l’action de Γ ¯
v . Pour σ ∈ Γ ¯
v , on a
ξ B w ,Tv ,B ,T ◦ σ = ξ B w ,Tv,B ,T ◦ τ ◦ (τ
−1 στ )◦ τ
−1 = τ ◦ ξ Bw,Tv,B ,T ◦ (τ
−1 στ )◦ τ
−1 .
Mais τ
−1 στ appartient à Γ ¯
v . En utilisant l’équivariance de ξ Bw ,Tv ,B ,T , on obtient
ξ B w ,Tv,B ,T ◦ σ = τ ◦ (τ
−1 στ ) ◦ ξ Bw,Tv ,B ,T ◦ τ
−1
= σ ◦ τ ◦ ξ Bw ,Tv ,B ,T ◦ τ
−1 = σ ◦ ξ B w ,Tv ,B ,T
comme on le voulait.
On doit aussi prouver que l’application déduite
˜
ξ B w ,Tv,B ,T : (T v /(1 − θ)(T v )) × Z(G) Z( ˜
G) → T
× Z(G ) Z( ˜
G
)