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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Soit v ∈ Val(F ). Comme on l’a dit en 1.1, notre notion de localisation en v
dépend du choix d’un prolongement ¯
v de v à ¯
F . Le corps ¯
F v est la clôture algébrique
de F v dans le complété de ¯
F en ¯
v. Par abus de notation, notons-le plus précisément
¯
F ¯
v . Le groupe Γ Fv est le fixateur de ¯
v dans Γ F , notons-le plus précisément Γ ¯
v . Ici,
parce que l’on va travailler avec le corps E, on va devoir faire varier ¯
v. Notons w la
restriction de ¯
v à E. En reprenant la preuve du lemme 1.10 de [I], on voit que pour
tout v ∈ Val(F ), on peut fixer un diagramme (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v ) où (B
, T
) est
la paire déjà fixée. Le groupe B w est défini sur ¯
F ¯
v et la condition d’équivariance
du diagramme est relative à Γ ¯
v .
Remarques.
(3) Ce diagramme est unique. En effet, comme on l’a déjà dit, T v est uniquement
déterminé et B w est en tout cas bien déterminé modulo l’action de W
θ (en
identifiant W au groupe de Weyl de G relatif à T v ). Du diagramme se déduit
un homomorphisme ξ Tv ,T : T v → T
, puis une application
˜
ξ Tv ,T : (T v /(1 − θ)(T v )) × Z(G) Z( ˜
G) → T
× Z(G ) Z( ˜
G
).
Cette application doit envoyer l’image de γ v dans l’espace de départ sur
l’image de δ v dans l’espace d’arrivée. Si l’on remplace B w par ω(B w ), avec
ω ∈ W
θ , ˜
ξ Tv ,T est remplacé par ˜
ξ Tv ,T ◦ ω
−1 . La forte régularité de γ v et la
propriété [I] 1.3(5) entraînent que cette nouvelle application ne vérifie plus
la propriété précédente, sauf si ω = 1.
(4) Fixons g ∈ G tel que ad g (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). Alors ad g identifie T v au tore
T , plus exactement à son localisé en la place v.
Soit w
une autre place de E au-dessus de v. Fixons τ ∈ Γ F tel que τ (w) = w
.
Notons ¯
v
l’image de ¯
v par τ . L’élément τ définit naturellement un isomorphisme
de ¯
F ¯
v sur ¯
F ¯
v et, pour tout groupe algébrique H v défini sur F v , un isomorphisme
de H v ( ¯
F ¯
v ) sur H v ( ¯
F ¯
v ). On note encore τ ces isomorphismes. Puisque T v et γ v
sont définis sur F v donc invariants par τ , le couple (τ (B w ), T v ) est une paire de
Borel de G définie sur ¯
F ¯
v et conservée par ad γv . En identifiant grâce à cette
paire le groupe de Weyl W au groupe de Weyl de T v , on définit le sous-groupe de
Borel B w = ω T (τ )
−1 τ (B w ). Puisque ω T (τ ) ∈ W
θ , la paire (B w , T v ) est encore
conservée par ad γv , cf. [I] 1.3(2). Montrons que
(5) le sextuplet (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v ) est un diagramme, le corps ¯
F v étant identifié à ¯
F ¯
v .
Preuve. Les tores T
et T v sont déployés sur E w . Cela implique que le groupe de
Borel B w est défini sur E w (B
aussi, mais c’est déjà dans l’hypothèse sur E).
Les deux paires de Borel (B w , T v ) et (B
∗ , T
∗ ) étant toutes deux définies sur E w ,
on peut fixer g w ∈ G SC (E w ) tel que ad gw (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). Posons g w =
xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (g w ). C’est un élément de G SC (E w ). Montrons que
(6) on a l’égalité ad g w (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Soit v ∈ Val(F ). Comme on l’a dit en 1.1, notre notion de localisation en v
dépend du choix d’un prolongement ¯
v de v à ¯
F . Le corps ¯
F v est la clôture algébrique
de F v dans le complété de ¯
F en ¯
v. Par abus de notation, notons-le plus précisément
¯
F ¯
v . Le groupe Γ Fv est le fixateur de ¯
v dans Γ F , notons-le plus précisément Γ ¯
v . Ici,
parce que l’on va travailler avec le corps E, on va devoir faire varier ¯
v. Notons w la
restriction de ¯
v à E. En reprenant la preuve du lemme 1.10 de [I], on voit que pour
tout v ∈ Val(F ), on peut fixer un diagramme (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v ) où (B
, T
) est
la paire déjà fixée. Le groupe B w est défini sur ¯
F ¯
v et la condition d’équivariance
du diagramme est relative à Γ ¯
v .
Remarques.
(3) Ce diagramme est unique. En effet, comme on l’a déjà dit, T v est uniquement
déterminé et B w est en tout cas bien déterminé modulo l’action de W
θ (en
identifiant W au groupe de Weyl de G relatif à T v ). Du diagramme se déduit
un homomorphisme ξ Tv ,T : T v → T
, puis une application
˜
ξ Tv ,T : (T v /(1 − θ)(T v )) × Z(G) Z( ˜
G) → T
× Z(G ) Z( ˜
G
).
Cette application doit envoyer l’image de γ v dans l’espace de départ sur
l’image de δ v dans l’espace d’arrivée. Si l’on remplace B w par ω(B w ), avec
ω ∈ W
θ , ˜
ξ Tv ,T est remplacé par ˜
ξ Tv ,T ◦ ω
−1 . La forte régularité de γ v et la
propriété [I] 1.3(5) entraînent que cette nouvelle application ne vérifie plus
la propriété précédente, sauf si ω = 1.
(4) Fixons g ∈ G tel que ad g (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). Alors ad g identifie T v au tore
T , plus exactement à son localisé en la place v.
Soit w
une autre place de E au-dessus de v. Fixons τ ∈ Γ F tel que τ (w) = w
.
Notons ¯
v
l’image de ¯
v par τ . L’élément τ définit naturellement un isomorphisme
de ¯
F ¯
v sur ¯
F ¯
v et, pour tout groupe algébrique H v défini sur F v , un isomorphisme
de H v ( ¯
F ¯
v ) sur H v ( ¯
F ¯
v ). On note encore τ ces isomorphismes. Puisque T v et γ v
sont définis sur F v donc invariants par τ , le couple (τ (B w ), T v ) est une paire de
Borel de G définie sur ¯
F ¯
v et conservée par ad γv . En identifiant grâce à cette
paire le groupe de Weyl W au groupe de Weyl de T v , on définit le sous-groupe de
Borel B w = ω T (τ )
−1 τ (B w ). Puisque ω T (τ ) ∈ W
θ , la paire (B w , T v ) est encore
conservée par ad γv , cf. [I] 1.3(2). Montrons que
(5) le sextuplet (δ v , B
, T
, B w , T v , γ v ) est un diagramme, le corps ¯
F v étant identifié à ¯
F ¯
v .
Preuve. Les tores T
et T v sont déployés sur E w . Cela implique que le groupe de
Borel B w est défini sur E w (B
aussi, mais c’est déjà dans l’hypothèse sur E).
Les deux paires de Borel (B w , T v ) et (B
∗ , T
∗ ) étant toutes deux définies sur E w ,
on peut fixer g w ∈ G SC (E w ) tel que ad gw (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ). Posons g w =
xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (g w ). C’est un élément de G SC (E w ). Montrons que
(6) on a l’égalité ad g w (B w , T v ) = (B
∗ , T
∗ ).