VI.3. Endoscopie
653
Nous montrerons plus loin qu’il existe des familles
(δ v ) v∈Val(F ) et (γ v ) v∈Val(F )
vérifiant les deux conditions (1) et (2) ci-dessus.
Fixons un ensemble fini V de places de F contenant V ram (G
), ainsi que des
données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V , non ramifiées hors de V . On fixe
pour tout v un relèvement δ 1,v ∈ ˜
G
1 (F v ) de δ v . La condition (1) permet d’imposer
que δ 1,v ∈ ˜
K
1,v pour presque tout v.
Posons δ 1 = (δ 1,v ) v∈Val(F ) , δ = (δ v ) v∈Val(F ) , γ = (γ v ) v∈Val(F ) . Ce sont des
éléments de ˜
G
1 (A F ), resp. ˜
G
(A F ), ˜
G(A F ). Nous allons définir un facteur de transfert global Δ(δ 1 , γ).
On fixe un sous-groupe de Borel B
de G
, défini sur ¯
F et contenant T
.
Identifions la paire de Borel épinglée de G à une telle paire E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ )
définie sur ¯
F . On fixe une application σ → u E ∗ (σ) à valeurs dans G SC ( ¯
F ), de
sorte que ad u E ∗ (σ) ◦σ conserve E
∗ pour tout σ ∈ Γ F . On peut supposer que cette
application est continue, qu’elle se factorise par un quotient fini de Γ F et que
u E ∗ (1) = 1. On construit une action quasi-déployée de Γ F sur G notée σ → σ G ∗ =
ad u E ∗ (σ) ◦σ (on note simplement σ → σ l’action naturelle de Γ F sur G). Des deux
paires de Borel se déduit un homomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il existe un cocycle
ω T : Γ F → W
θ de sorte que ξ T ∗ ,T ◦ ω T (σ) ◦ σ G ∗ = σ G ◦ ξ T ∗ ,T sur T
∗ pour tout
σ ∈ Γ F . Fixons de plus e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; ¯
F ) et posons θ
∗ = ad e . D’après [44] corollaire
2.2, on peut trouver x ∈ G
θ
∗
SC ( ¯
F ) tel que, pour tout σ ∈ Γ F , xσ G ∗ (x)
−1 normalise
T
∗ et ait pour image ω T (σ) dans W . On note T le tore T
∗ muni de l’action
galoisienne σ → σ T = ω T (σ) ◦ σ G ∗ .
Fixons une extension galoisienne finie E de F telle que
– B
et T
soient définis sur E et T
soit déployé sur E ;
– E
∗ soit définie sur E (pour l’action galoisienne naturelle) et T
∗ soit déployé
sur E ;
– e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; E), x ∈ G
θ
∗
SC (E) ;
– l’application σ → u E ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et, pour tout σ ∈
Gal(E/F ), on a u E ∗ (σ) ∈ G SC (E).
Il en résulte que l’action galoisienne quasi-déployée et l’action naturelle coïncident sur Γ E . On a u E ∗ (σ) = 1 pour σ ∈ Γ E . La paire de Borel (B
∗ , T
∗ ) est aussi
définie sur E et les tores T
∗ et T sont déployés sur E. Rappelons que, pour tout
σ ∈ Γ F , il existe un unique z(σ) ∈ Z(G; ¯
F ) tel que σ G ∗ (e) = z(σ)
−1 e. L’application σ → z(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans Z(G; E).
On note A E l’anneau des adèles de E. Le groupe Gal(E/F ) agit sur A E .
Pour tout groupe algébrique H défini sur F , le groupe Gal(E/F ) agit sur H(A E ).
Soit v ∈ Val(F ), posons E v =
w|v E w où w parcourt les places de E divisant v.
Alors le groupe Gal(E/F ) agit sur E v . Pour tout groupe algébrique H v défini sur
F v , le groupe Gal(E/F ) agit sur H v (E v ).
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Nous montrerons plus loin qu’il existe des familles
(δ v ) v∈Val(F ) et (γ v ) v∈Val(F )
vérifiant les deux conditions (1) et (2) ci-dessus.
Fixons un ensemble fini V de places de F contenant V ram (G
), ainsi que des
données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V , non ramifiées hors de V . On fixe
pour tout v un relèvement δ 1,v ∈ ˜
G
1 (F v ) de δ v . La condition (1) permet d’imposer
que δ 1,v ∈ ˜
K
1,v pour presque tout v.
Posons δ 1 = (δ 1,v ) v∈Val(F ) , δ = (δ v ) v∈Val(F ) , γ = (γ v ) v∈Val(F ) . Ce sont des
éléments de ˜
G
1 (A F ), resp. ˜
G
(A F ), ˜
G(A F ). Nous allons définir un facteur de transfert global Δ(δ 1 , γ).
On fixe un sous-groupe de Borel B
de G
, défini sur ¯
F et contenant T
.
Identifions la paire de Borel épinglée de G à une telle paire E
∗ = (B
∗ , T
∗ , (E
∗
α ) α∈Δ )
définie sur ¯
F . On fixe une application σ → u E ∗ (σ) à valeurs dans G SC ( ¯
F ), de
sorte que ad u E ∗ (σ) ◦σ conserve E
∗ pour tout σ ∈ Γ F . On peut supposer que cette
application est continue, qu’elle se factorise par un quotient fini de Γ F et que
u E ∗ (1) = 1. On construit une action quasi-déployée de Γ F sur G notée σ → σ G ∗ =
ad u E ∗ (σ) ◦σ (on note simplement σ → σ l’action naturelle de Γ F sur G). Des deux
paires de Borel se déduit un homomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il existe un cocycle
ω T : Γ F → W
θ de sorte que ξ T ∗ ,T ◦ ω T (σ) ◦ σ G ∗ = σ G ◦ ξ T ∗ ,T sur T
∗ pour tout
σ ∈ Γ F . Fixons de plus e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; ¯
F ) et posons θ
∗ = ad e . D’après [44] corollaire
2.2, on peut trouver x ∈ G
θ
∗
SC ( ¯
F ) tel que, pour tout σ ∈ Γ F , xσ G ∗ (x)
−1 normalise
T
∗ et ait pour image ω T (σ) dans W . On note T le tore T
∗ muni de l’action
galoisienne σ → σ T = ω T (σ) ◦ σ G ∗ .
Fixons une extension galoisienne finie E de F telle que
– B
et T
soient définis sur E et T
soit déployé sur E ;
– E
∗ soit définie sur E (pour l’action galoisienne naturelle) et T
∗ soit déployé
sur E ;
– e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; E), x ∈ G
θ
∗
SC (E) ;
– l’application σ → u E ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et, pour tout σ ∈
Gal(E/F ), on a u E ∗ (σ) ∈ G SC (E).
Il en résulte que l’action galoisienne quasi-déployée et l’action naturelle coïncident sur Γ E . On a u E ∗ (σ) = 1 pour σ ∈ Γ E . La paire de Borel (B
∗ , T
∗ ) est aussi
définie sur E et les tores T
∗ et T sont déployés sur E. Rappelons que, pour tout
σ ∈ Γ F , il existe un unique z(σ) ∈ Z(G; ¯
F ) tel que σ G ∗ (e) = z(σ)
−1 e. L’application σ → z(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans Z(G; E).
On note A E l’anneau des adèles de E. Le groupe Gal(E/F ) agit sur A E .
Pour tout groupe algébrique H défini sur F , le groupe Gal(E/F ) agit sur H(A E ).
Soit v ∈ Val(F ), posons E v =
w|v E w où w parcourt les places de E divisant v.
Alors le groupe Gal(E/F ) agit sur E v . Pour tout groupe algébrique H v défini sur
F v , le groupe Gal(E/F ) agit sur H v (E v ).