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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Il résulte de 2.8(1) que l’on a l’égalité
I
G
g´ eom (f V ) =
˜
M ∈L( ˜
M
0 )
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O∈ ˜
M
ss (FV )/ conj
I
G
M (A
M
(V, O), f V )
pour tout f V ∈ C
∞
c (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V )).
VI.3.6 Facteur de transfert global, cas particulier
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Rappelons
que, puisque ˜
G
est à torsion intérieure, à tout tore maximal T
de G
défini sur F
est associé un unique tore tordu ˜
T
, à savoir l’ensemble des δ ∈ ˜
G
qui commutent
à tout élément de T
. On peut toutefois avoir ˜
T
(F ) = ∅. On impose dans ce
paragraphe l’hypothèse
(Hyp). Il existe un sous-tore maximal T
de G
, défini sur F , de sorte que, pour
toute place v de F , il existe un couple (δ v , γ v ) ∈ D(G
v ) avec δ v ∈ ˜
T
(F v ).
Fixons un tel tore T
. On fixe pour tout v ∈ Val(F ) un couple (δ v , γ v ) ∈
D(G
v ) avec δ v ∈ ˜
T
(F v ). Nous allons imposer à ces couples des conditions de
«non-ramification». On impose d’abord
(1) δ v ∈ ˜
K
v et γ v ∈ ˜
K v pour presque tout v.
Considérons une place finie v. Fixons une paire de Borel épinglée E v =
(B v , T v , (E α ) α∈Δ ) de G telle que (B v , T v ) soit conservée par ad γv . Ecrivons γ v =
t v e v avec e v ∈ Z( ˜
G, E) et t v ∈ T v . Rappelons que l’on note Σ(T v ) l’ensemble des
racines de T v dans g, F
nr
v
la plus grande extension non ramifiée de F v , o
nr
v son
anneau d’entiers et o
nr,×
v
le groupe des unités. Notons aussi F v le corps résiduel
de o v et ¯
F v sa clôture algébrique, qui est aussi le corps résiduel de o
nr
v . Avec ces
notations, on impose
(2) pour presque toute place finie v et pour tout α ∈ Σ(T v ), on a (N α)(t v ) ∈
o
nr,×
v
et la réduction de (N α)(t v ) dans ¯
F v est différente de ±1.
Cette condition ne dépend pas des choix de E v et de e v . En effet, on ne
peut changer e v qu’en le multipliant par un élément de Z(G). Cela multiplie t v
par l’inverse de cet élément, ce qui ne change pas les (N α)(t v ). Remplaçons E v
par une autre paire de Borel épinglée E
v dont la paire de Borel sous-jacente est
conservée par ad γv . Le tore T v reste le même : puisque γ v est fortement régulier,
c’est le commutant de G γv dans G. Soit x ∈ G tel que ad x (E v ) = E
v . Alors
ad x conserve T v . D’après [I] 1.3(2), l’image de x dans W (identifié au groupe
de Weyl de G pour T v ) est invariante par θ = ad ev . Un tel élément se relève
dans le groupe G ev . On peut donc écrire x = τy avec τ ∈ T v et y ∈ G ev . Alors
e
v = ad τ (e v ) = (1 − θ)(τ )e v ∈ Z( ˜
G, E
v ). On peut prendre pour décomposition
relative à E
v l’égalité γ v = t
v e
v où t
v = (θ − 1)(τ )t v . Puisque (N α)((θ − 1)(τ )) = 1,
on voit que la condition (2) ne change pas.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Il résulte de 2.8(1) que l’on a l’égalité
I
G
g´ eom (f V ) =
˜
M ∈L( ˜
M
0 )
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O∈ ˜
M
ss (FV )/ conj
I
G
M (A
M
(V, O), f V )
pour tout f V ∈ C
∞
c (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V )).
VI.3.6 Facteur de transfert global, cas particulier
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). Rappelons
que, puisque ˜
G
est à torsion intérieure, à tout tore maximal T
de G
défini sur F
est associé un unique tore tordu ˜
T
, à savoir l’ensemble des δ ∈ ˜
G
qui commutent
à tout élément de T
. On peut toutefois avoir ˜
T
(F ) = ∅. On impose dans ce
paragraphe l’hypothèse
(Hyp). Il existe un sous-tore maximal T
de G
, défini sur F , de sorte que, pour
toute place v de F , il existe un couple (δ v , γ v ) ∈ D(G
v ) avec δ v ∈ ˜
T
(F v ).
Fixons un tel tore T
. On fixe pour tout v ∈ Val(F ) un couple (δ v , γ v ) ∈
D(G
v ) avec δ v ∈ ˜
T
(F v ). Nous allons imposer à ces couples des conditions de
«non-ramification». On impose d’abord
(1) δ v ∈ ˜
K
v et γ v ∈ ˜
K v pour presque tout v.
Considérons une place finie v. Fixons une paire de Borel épinglée E v =
(B v , T v , (E α ) α∈Δ ) de G telle que (B v , T v ) soit conservée par ad γv . Ecrivons γ v =
t v e v avec e v ∈ Z( ˜
G, E) et t v ∈ T v . Rappelons que l’on note Σ(T v ) l’ensemble des
racines de T v dans g, F
nr
v
la plus grande extension non ramifiée de F v , o
nr
v son
anneau d’entiers et o
nr,×
v
le groupe des unités. Notons aussi F v le corps résiduel
de o v et ¯
F v sa clôture algébrique, qui est aussi le corps résiduel de o
nr
v . Avec ces
notations, on impose
(2) pour presque toute place finie v et pour tout α ∈ Σ(T v ), on a (N α)(t v ) ∈
o
nr,×
v
et la réduction de (N α)(t v ) dans ¯
F v est différente de ±1.
Cette condition ne dépend pas des choix de E v et de e v . En effet, on ne
peut changer e v qu’en le multipliant par un élément de Z(G). Cela multiplie t v
par l’inverse de cet élément, ce qui ne change pas les (N α)(t v ). Remplaçons E v
par une autre paire de Borel épinglée E
v dont la paire de Borel sous-jacente est
conservée par ad γv . Le tore T v reste le même : puisque γ v est fortement régulier,
c’est le commutant de G γv dans G. Soit x ∈ G tel que ad x (E v ) = E
v . Alors
ad x conserve T v . D’après [I] 1.3(2), l’image de x dans W (identifié au groupe
de Weyl de G pour T v ) est invariante par θ = ad ev . Un tel élément se relève
dans le groupe G ev . On peut donc écrire x = τy avec τ ∈ T v et y ∈ G ev . Alors
e
v = ad τ (e v ) = (1 − θ)(τ )e v ∈ Z( ˜
G, E
v ). On peut prendre pour décomposition
relative à E
v l’égalité γ v = t
v e
v où t
v = (θ − 1)(τ )t v . Puisque (N α)((θ − 1)(τ )) = 1,
on voit que la condition (2) ne change pas.