VI.3. Endoscopie
651
˜
K
M
v
= ˜
M
(F v ) ∩ ˜
K
v . On construit comme en [I] 3.4 un sous-groupe M
⊂ G
qui
est une extension de ˆ
M
par W F . On pose M
= (M
, M
, ˜
s). Il peut exister un
espace de Levi ˜
M de ˜
G de sorte que M
s’identifie à une donnée endoscopique
de (M, ˜
M , a M ). Mais, comme dans le cas local, un tel espace de Levi n’existe pas
toujours. Toutefois, indépendamment de l’existence d’un tel espace, pour un ensemble fini de places V contenant V ram (G
), on peut définir des espaces C
∞
c (M
V ),
I(M
V ) etc. . . En effet, on n’a pas besoin qu’il existe un espace ˜
M pour définir la
notion de données auxiliaires de M
non ramifiées hors de V ni pour définir des
fonctions de recollement ˜
λ 12 . Et cela suffit pour définir les espaces précédents.
Soit ˜
M
un espace de Levi de ˜
G
. On doit fixer une mesure sur A ˜
M (qui est
d’ailleurs égal à A M puisque la torsion sur ˜
G
est intérieure). Comme on vient de
le dire, ˜
M
peut correspondre ou non à un espace de Levi ˜
M . Dans le cas où ˜
M
ne correspond à aucun espace de Levi ˜
M , la mesure sur A ˜
M ne nous importera
pas, on la choisit arbitrairement. Dans le cas où ˜
M
correspond à un espace de
Levi ˜
M , on a un isomorphisme naturel A ˜
M A ˜
M et on choisit la mesure sur le
premier espace qui correspond par cet isomorphisme à celle fixée sur le second.
L’espace de Levi ˜
M n’est bien défini qu’à conjugaison près, mais notre définition
est insensible à une telle conjugaison.
VI.3.5 La partie géométrique de la formule des traces invariante
pour une donnée endoscopique
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On suppose ˜
G
(F ) = ∅.
Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram (G
). Fixons des données
auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V non ramifiées hors de V . On construit comme
en 2.8 une distribution f V → I
˜
G
1
g´ eom,λ1 (f V ) sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ Mes(G
(F V )). Pour
O ∈ ˜
G
ss (F )/ conj, on construit une distribution A
˜
G
1
λ1 (V, O) ∈ D orb,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗
Mes(G
(F V ))
∗ . Si on change de données auxiliaires, le lemme 2.6 et la relation
2.8(3) disent que ces distributions se recollent selon l’isomorphisme défini au paragraphe précédent. On peut donc les considérer comme des distributions sur
les espaces C
∞
c (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V )). On les note alors I
G
g´ eom et A
G
(V, O). Soit
M
∈ L(M
0 ). Notons M
= (M
, M
, ˜
s) la donnée introduite dans le paragraphe
précédent. On a une forme bilinéaire sur
(D orb,λ1 ( ˜
M
1 (F V )) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ ) × (C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ Mes(G
(F V )))
qui, à (γ V , f V ), associe I
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(γ V , f V ). Comme ci-dessus, quand on change de données auxiliaires, ces formes linéaires se recollent. On obtient une forme bilinéaire
(γ V , f V ) → I
G
M (γ V , f V )
sur
(D orb (M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ ) × (C
∞
c (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V ))).
651
˜
K
M
v
= ˜
M
(F v ) ∩ ˜
K
v . On construit comme en [I] 3.4 un sous-groupe M
⊂ G
qui
est une extension de ˆ
M
par W F . On pose M
= (M
, M
, ˜
s). Il peut exister un
espace de Levi ˜
M de ˜
G de sorte que M
s’identifie à une donnée endoscopique
de (M, ˜
M , a M ). Mais, comme dans le cas local, un tel espace de Levi n’existe pas
toujours. Toutefois, indépendamment de l’existence d’un tel espace, pour un ensemble fini de places V contenant V ram (G
), on peut définir des espaces C
∞
c (M
V ),
I(M
V ) etc. . . En effet, on n’a pas besoin qu’il existe un espace ˜
M pour définir la
notion de données auxiliaires de M
non ramifiées hors de V ni pour définir des
fonctions de recollement ˜
λ 12 . Et cela suffit pour définir les espaces précédents.
Soit ˜
M
un espace de Levi de ˜
G
. On doit fixer une mesure sur A ˜
M (qui est
d’ailleurs égal à A M puisque la torsion sur ˜
G
est intérieure). Comme on vient de
le dire, ˜
M
peut correspondre ou non à un espace de Levi ˜
M . Dans le cas où ˜
M
ne correspond à aucun espace de Levi ˜
M , la mesure sur A ˜
M ne nous importera
pas, on la choisit arbitrairement. Dans le cas où ˜
M
correspond à un espace de
Levi ˜
M , on a un isomorphisme naturel A ˜
M A ˜
M et on choisit la mesure sur le
premier espace qui correspond par cet isomorphisme à celle fixée sur le second.
L’espace de Levi ˜
M n’est bien défini qu’à conjugaison près, mais notre définition
est insensible à une telle conjugaison.
VI.3.5 La partie géométrique de la formule des traces invariante
pour une donnée endoscopique
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On suppose ˜
G
(F ) = ∅.
Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram (G
). Fixons des données
auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V non ramifiées hors de V . On construit comme
en 2.8 une distribution f V → I
˜
G
1
g´ eom,λ1 (f V ) sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ Mes(G
(F V )). Pour
O ∈ ˜
G
ss (F )/ conj, on construit une distribution A
˜
G
1
λ1 (V, O) ∈ D orb,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗
Mes(G
(F V ))
∗ . Si on change de données auxiliaires, le lemme 2.6 et la relation
2.8(3) disent que ces distributions se recollent selon l’isomorphisme défini au paragraphe précédent. On peut donc les considérer comme des distributions sur
les espaces C
∞
c (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V )). On les note alors I
G
g´ eom et A
G
(V, O). Soit
M
∈ L(M
0 ). Notons M
= (M
, M
, ˜
s) la donnée introduite dans le paragraphe
précédent. On a une forme bilinéaire sur
(D orb,λ1 ( ˜
M
1 (F V )) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ ) × (C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) ⊗ Mes(G
(F V )))
qui, à (γ V , f V ), associe I
˜
G
1
˜
M
1 ,λ1
(γ V , f V ). Comme ci-dessus, quand on change de données auxiliaires, ces formes linéaires se recollent. On obtient une forme bilinéaire
(γ V , f V ) → I
G
M (γ V , f V )
sur
(D orb (M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ ) × (C
∞
c (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V ))).