650
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
K
v de G
(F v ) détermine un tel sous-groupe K
1,v de G
1 (F v ). On fixe un sousespace hyperspécial ˜
K
1,v de ˜
G
1 (F v ) au-dessus de ˜
K
v . On suppose que ces sousespaces vérifient la même condition de compatibilité globale qu’en 1.1. On adjoint
cette famille de sous-espaces hyperspéciaux aux données auxiliaires et on appelle
données auxiliaires non ramifiées hors de V les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V .
Si V
est un autre ensemble fini de places contenant V , des données auxiliaires
non ramifiées hors de V se restreignent en des données non ramifiées hors de V
en oubliant les ˜
K
1,v pour v ∈ V
− V .
Considérons deux séries de données auxiliaires G
1 etc. . . et G
2 etc. . . non
ramifiées hors de V . On définit comme en [I] 2.5 le produit fibré G
12 de G
1 et
G
2 au-dessus de G
et le produit fibré analogue ˜
G
12 . Toujours comme en [I] 2.5,
on définit un caractère λ 12 qui est cette fois un caractère de G
12 (A) trivial sur
G
12 (F ). Il est non ramifié hors de V , donc trivial sur K
1,v pour v ∈ V .
Comme en 1.15, on déduit de λ 12 des fonctions ˜
λ 12 sur ˜
G
12 (A F ), ˜
λ 12,v sur
˜
G
12 (F v ) pour v ∈ V et ˜
λ 12,V sur ˜
G
12 (F V ). Cette dernière fonction permet de
recoller les espaces C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) et C
∞
c,λ1 ( ˜
G
2 (F V )) : à f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )), on
associe f 2 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
2 (F V )) telle que f 2 (δ 2 ) = ˜
λ 12,V (δ 1 , δ 2 )f 1 (δ 1 ) où δ 1 est n’importe quel élément de ˜
G
1 (F V ) tel que (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (F V ). Ce recollement vérifie
une propriété de transitivité évidente qui permet de définir un espace C
∞
c (G
V )
comme la limite inductive des C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) sur les données G
1 ,. . .,( ˜
K
1,v ) v ∈V
non ramifiées hors de V , les applications de transition étant celles que l’on vient
de définir. Cette définition pose le même problème logique que dans le cas local,
que l’on peut lever comme dans ce cas, cf. [I] 2.5. On définit de même les espaces
I(G
V ) et SI(G
V ). De nouveau, si V
est un ensemble fini de places contenant V ,
les espaces C
∞
c (G
V ) etc. . . s’identifient à des sous-espaces de C
∞
c (G
V ) etc. . .
VI.3.4 Levi
Les relations entre données endoscopiques d’espaces de Levi de ˜
G et groupes de
Levi de données endoscopiques de (G, ˜
G, a) sont essentiellement les mêmes dans
le cas global que dans le cas local, cf. [I] paragraphes 3.2, 3.3 et 3.4. Signalons
l’analogue global de la relation 3.2(2) de [I]. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On
réalise ˆ
M comme Levi standard de ˆ
G comme dans cette référence. Alors l’homomorphisme
H
1 (W F , Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F , Z( ˆ
G)) → H
1 (W F , Z( ˆ
M ))/ ker
1 (W F , Z( ˆ
M ))
est injectif ([15], lemme 2).
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On suppose
˜
G
(F ) = ∅. Soit M
un Levi de G
contenant M
0 , dont on déduit un espace
de Levi ˜
M
. Puisque ˜
G
est à torsion intérieure, ˜
M
est l’ensemble des γ ∈ ˜
G tels
qu’il existe m ∈ M de sorte que ad γ = ad m . Pour une place v ∈ V ram (G
), on
définit le sous-groupe hyperspécial K
M
v
= M
(F v ) ∩ K
v et l’espace hyperspécial
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
K
v de G
(F v ) détermine un tel sous-groupe K
1,v de G
1 (F v ). On fixe un sousespace hyperspécial ˜
K
1,v de ˜
G
1 (F v ) au-dessus de ˜
K
v . On suppose que ces sousespaces vérifient la même condition de compatibilité globale qu’en 1.1. On adjoint
cette famille de sous-espaces hyperspéciaux aux données auxiliaires et on appelle
données auxiliaires non ramifiées hors de V les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , ( ˜
K
1,v ) v ∈V .
Si V
est un autre ensemble fini de places contenant V , des données auxiliaires
non ramifiées hors de V se restreignent en des données non ramifiées hors de V
en oubliant les ˜
K
1,v pour v ∈ V
− V .
Considérons deux séries de données auxiliaires G
1 etc. . . et G
2 etc. . . non
ramifiées hors de V . On définit comme en [I] 2.5 le produit fibré G
12 de G
1 et
G
2 au-dessus de G
et le produit fibré analogue ˜
G
12 . Toujours comme en [I] 2.5,
on définit un caractère λ 12 qui est cette fois un caractère de G
12 (A) trivial sur
G
12 (F ). Il est non ramifié hors de V , donc trivial sur K
1,v pour v ∈ V .
Comme en 1.15, on déduit de λ 12 des fonctions ˜
λ 12 sur ˜
G
12 (A F ), ˜
λ 12,v sur
˜
G
12 (F v ) pour v ∈ V et ˜
λ 12,V sur ˜
G
12 (F V ). Cette dernière fonction permet de
recoller les espaces C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) et C
∞
c,λ1 ( ˜
G
2 (F V )) : à f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )), on
associe f 2 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
2 (F V )) telle que f 2 (δ 2 ) = ˜
λ 12,V (δ 1 , δ 2 )f 1 (δ 1 ) où δ 1 est n’importe quel élément de ˜
G
1 (F V ) tel que (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (F V ). Ce recollement vérifie
une propriété de transitivité évidente qui permet de définir un espace C
∞
c (G
V )
comme la limite inductive des C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F V )) sur les données G
1 ,. . .,( ˜
K
1,v ) v ∈V
non ramifiées hors de V , les applications de transition étant celles que l’on vient
de définir. Cette définition pose le même problème logique que dans le cas local,
que l’on peut lever comme dans ce cas, cf. [I] 2.5. On définit de même les espaces
I(G
V ) et SI(G
V ). De nouveau, si V
est un ensemble fini de places contenant V ,
les espaces C
∞
c (G
V ) etc. . . s’identifient à des sous-espaces de C
∞
c (G
V ) etc. . .
VI.3.4 Levi
Les relations entre données endoscopiques d’espaces de Levi de ˜
G et groupes de
Levi de données endoscopiques de (G, ˜
G, a) sont essentiellement les mêmes dans
le cas global que dans le cas local, cf. [I] paragraphes 3.2, 3.3 et 3.4. Signalons
l’analogue global de la relation 3.2(2) de [I]. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On
réalise ˆ
M comme Levi standard de ˆ
G comme dans cette référence. Alors l’homomorphisme
H
1 (W F , Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F , Z( ˆ
G)) → H
1 (W F , Z( ˆ
M ))/ ker
1 (W F , Z( ˆ
M ))
est injectif ([15], lemme 2).
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On suppose
˜
G
(F ) = ∅. Soit M
un Levi de G
contenant M
0 , dont on déduit un espace
de Levi ˜
M
. Puisque ˜
G
est à torsion intérieure, ˜
M
est l’ensemble des γ ∈ ˜
G tels
qu’il existe m ∈ M de sorte que ad γ = ad m . Pour une place v ∈ V ram (G
), on
définit le sous-groupe hyperspécial K
M
v
= M
(F v ) ∩ K
v et l’espace hyperspécial