VI.3. Endoscopie
649
Le tore ˆ
T
ad est induit. Alors ˆ
G
1 vérifie les conditions requises pour appliquer le
lemme 2.2.A de [48] : l’inclusion ˆ
G
→ ˆ
G
1 se prolonge en un plongement ˆ
τ :
G
→
L G
1 . Remarquons que l’action galoisienne sur ˆ
G
1 est non ramifiée hors de
V ram (G
). Appliquons le lemme 3.2 au tore ˆ
T
. Soit ˆ ι :
L T
→ G
un plongement
vérifiant les propriétés de ce lemme. Pour w ∈ W F , posons ˆ
τ ◦ˆ ι(w) = (x(w), w). Cet
élément agit comme w sur ˆ
T
, donc x(w) appartient au commutant ˆ
T 1 de ˆ
T
dans
ˆ
G
1 . L’application w → x(w) est un cocycle de W F dans ˆ
T 1 . Pour v ∈ V ram (G
)
et w ∈ I v , on a ˆ ι(w) = (1, w) ∈
L G, donc ˆ ι(w) commute à ˆ
G
. Donc (x(w), w)
puis x(w) commutent aussi à ˆ
G
. Il en résulte que x(w) ∈ Z( ˆ
G
1 ). Notons t 3 le
composé de x et de la projection ˆ
T 1 → ˆ
T 1 /Z( ˆ
G
1 ). Alors t 3 est un cocycle trivial
sur I v pour tout v ∈ V ram (G
). Puisque Z( ˆ
G
1 ) est connexe, on peut appliquer
3.2(2) (on prend pour E la plus petite extension sur laquelle ˆ
T
est déployée et
pour U le sous-groupe de W F engendré par les I v pour v ∈ V ram (G
)). Il existe
donc un cocycle t 2 : W F → ˆ
T 1 relevant t 3 et non ramifié hors de V ram (G
). Pour
w ∈ W F , posons ζ(w) = x(w)
−1 t 2 (w). Alors ζ est un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G
1 ).
Remplaçons le plongement ˆ
τ par ˆ
ξ 1 défini par
ˆ
ξ 1 (g, w) = ζ(w)ˆ τ (g, w)
pour tout (g, w) ∈ G
. On a alors ˆ
ξ 1 ◦ ˆ ι(w) = (t 2 (w), w) pour tout w ∈ W F .
Pour v ∈ V ram (G
) et w ∈ I v , on a ˆ ι(w) = w et t 2 (w) = 1, donc ˆ
ξ 1 (w) = w.
C’est-à-dire que ˆ
ξ 1 est l’identité sur I v . On prend pour G
1 le groupe quasi-déployé
sur F dont ˆ
G
1 est le groupe dual. Alors les deux premières conditions du lemme
sont satisfaites. La condition de non-ramification de λ 1 résulte formellement de
ces deux premières conditions.
La définition d’un espace tordu ˜
G
1 ne pose pas de problème. On fixe γ ∈
˜
G
(F ). L’automorphisme ad γ se relève en un automorphisme θ 1 de G
1 qui est
défini sur F . On prend pour ˜
G
1 le sous-ensemble G
1 × {θ 1 } du produit semi-direct
de G
1 avec son groupe d’automorphismes. La projection ˜
G
1 → ˜
G
est définie en
envoyant θ 1 sur γ.
Les données auxiliaires que l’on vient de construire ne sont pas forcément
unitaires. Mais cette condition est facile à assurer. Soit b
+ un cocycle de W F
dans Z( ˆ
G
1 ) auquel est associé le caractère λ
+
G
1
. Parce que λ
+
G
1
est à valeurs réelles
positives, on peut choisir b
+ à valeurs dans la partie réelle positive du tore complexe
Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 (cf. [I] 7.1). Alors b
+ est unique, c’est un caractère et il est non ramifié
en toute place finie. On définit le plongement ˆ
ξ
1 : G
→
L G
1 par ˆ
ξ
1 (g, w) =
b
+ (w)
−1 ˆ
ξ 1 (g, w). Les données G
1 ,. . ., ˆ
ξ
1 vérifient encore les conditions requises de
non-ramification et sont de plus unitaires.
Dans la suite, toutes les données auxiliaires seront supposées unitaires sans
qu’il soit besoin de l’indiquer. Soit V un ensemble fini de places de F contenant
V ram (G
). Soient G
1 etc. . . des données auxiliaires telles que les conditions de
l’énoncé soient satisfaites pour v ∈ V . Pour v ∈ V , le sous-groupe hyperspécial
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Le tore ˆ
T
ad est induit. Alors ˆ
G
1 vérifie les conditions requises pour appliquer le
lemme 2.2.A de [48] : l’inclusion ˆ
G
→ ˆ
G
1 se prolonge en un plongement ˆ
τ :
G
→
L G
1 . Remarquons que l’action galoisienne sur ˆ
G
1 est non ramifiée hors de
V ram (G
). Appliquons le lemme 3.2 au tore ˆ
T
. Soit ˆ ι :
L T
→ G
un plongement
vérifiant les propriétés de ce lemme. Pour w ∈ W F , posons ˆ
τ ◦ˆ ι(w) = (x(w), w). Cet
élément agit comme w sur ˆ
T
, donc x(w) appartient au commutant ˆ
T 1 de ˆ
T
dans
ˆ
G
1 . L’application w → x(w) est un cocycle de W F dans ˆ
T 1 . Pour v ∈ V ram (G
)
et w ∈ I v , on a ˆ ι(w) = (1, w) ∈
L G, donc ˆ ι(w) commute à ˆ
G
. Donc (x(w), w)
puis x(w) commutent aussi à ˆ
G
. Il en résulte que x(w) ∈ Z( ˆ
G
1 ). Notons t 3 le
composé de x et de la projection ˆ
T 1 → ˆ
T 1 /Z( ˆ
G
1 ). Alors t 3 est un cocycle trivial
sur I v pour tout v ∈ V ram (G
). Puisque Z( ˆ
G
1 ) est connexe, on peut appliquer
3.2(2) (on prend pour E la plus petite extension sur laquelle ˆ
T
est déployée et
pour U le sous-groupe de W F engendré par les I v pour v ∈ V ram (G
)). Il existe
donc un cocycle t 2 : W F → ˆ
T 1 relevant t 3 et non ramifié hors de V ram (G
). Pour
w ∈ W F , posons ζ(w) = x(w)
−1 t 2 (w). Alors ζ est un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G
1 ).
Remplaçons le plongement ˆ
τ par ˆ
ξ 1 défini par
ˆ
ξ 1 (g, w) = ζ(w)ˆ τ (g, w)
pour tout (g, w) ∈ G
. On a alors ˆ
ξ 1 ◦ ˆ ι(w) = (t 2 (w), w) pour tout w ∈ W F .
Pour v ∈ V ram (G
) et w ∈ I v , on a ˆ ι(w) = w et t 2 (w) = 1, donc ˆ
ξ 1 (w) = w.
C’est-à-dire que ˆ
ξ 1 est l’identité sur I v . On prend pour G
1 le groupe quasi-déployé
sur F dont ˆ
G
1 est le groupe dual. Alors les deux premières conditions du lemme
sont satisfaites. La condition de non-ramification de λ 1 résulte formellement de
ces deux premières conditions.
La définition d’un espace tordu ˜
G
1 ne pose pas de problème. On fixe γ ∈
˜
G
(F ). L’automorphisme ad γ se relève en un automorphisme θ 1 de G
1 qui est
défini sur F . On prend pour ˜
G
1 le sous-ensemble G
1 × {θ 1 } du produit semi-direct
de G
1 avec son groupe d’automorphismes. La projection ˜
G
1 → ˜
G
est définie en
envoyant θ 1 sur γ.
Les données auxiliaires que l’on vient de construire ne sont pas forcément
unitaires. Mais cette condition est facile à assurer. Soit b
+ un cocycle de W F
dans Z( ˆ
G
1 ) auquel est associé le caractère λ
+
G
1
. Parce que λ
+
G
1
est à valeurs réelles
positives, on peut choisir b
+ à valeurs dans la partie réelle positive du tore complexe
Z( ˆ
G
1 )
ΓF ,0 (cf. [I] 7.1). Alors b
+ est unique, c’est un caractère et il est non ramifié
en toute place finie. On définit le plongement ˆ
ξ
1 : G
→
L G
1 par ˆ
ξ
1 (g, w) =
b
+ (w)
−1 ˆ
ξ 1 (g, w). Les données G
1 ,. . ., ˆ
ξ
1 vérifient encore les conditions requises de
non-ramification et sont de plus unitaires.
Dans la suite, toutes les données auxiliaires seront supposées unitaires sans
qu’il soit besoin de l’indiquer. Soit V un ensemble fini de places de F contenant
V ram (G
). Soient G
1 etc. . . des données auxiliaires telles que les conditions de
l’énoncé soient satisfaites pour v ∈ V . Pour v ∈ V , le sous-groupe hyperspécial