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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
valeurs dans ˆ
G
de sorte que ad h(w) ad sw ( ˆ
B
, ˆ
T
) = ω S ,G (w)( ˆ
B
, ˆ
T
). En posant
h(w)s w = (x(w), w), l’application x ainsi définie au voisinage de w 0 convient.
Cela prouve la continuité de d. On peut munir le tore ˆ
T de l’action galoisienne
σ → ω S ,G (σ) ◦ σ. Notons ˆ
S ce tore muni de cette action. On peut considérer d
comme une application à valeurs dans ˆ
S/ ˆ
S
. On vérifie qu’alors, c’est un cocycle.
De plus, pour v ∈ V , d est triviale sur I v . En effet, pour w ∈ I v , on a g
1 (w) = 1
et l’hypothèse v ∈ V ram (G
) nous permet de choisir x(w) = 1, d’où d(w) = 1. On
considère la suite exacte
1 → ˆ
S
→ ˆ
S → ˆ
S/ ˆ
S
→ 1
D’après (2), on peut relever d en un cocycle e : W F → ˆ
S tel que, pour tout
v ∈ V , e soit trivial sur I v . Fixons un tel cocycle. Pour tout w ∈ W F , posons
y(w) = e(w)g
1 (w). Alors (y(w), w) appartient à G
. L’application
L S
→
G
(t, w) → (te(w), w)
vérifie les conditions du lemme.
VI.3.3 Données auxiliaires
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On suppose ˜
G
(F ) = ∅.
La notion de données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 se définit comme dans le cas local
([I] 2.1). A de telles données est associé un caractère λ 1 de C 1 (A F ) et un caractère
λ
+
G
1
de G
1 (A F ), à valeurs réelles positives (cf. [I] 7.1). Ces deux caractères sont
automorphes, c’est-à-dire triviaux respectivement sur C 1 (F ) et G
1 (F ). On dit que
les données auxiliaires sont unitaires si λ
+
G
1
est trivial.
Lemme. On peut choisir de telles données auxiliaires unitaires de sorte que, pour
v ∈ V ram (G
), le groupe G
1,v soit non ramifié, le plongement ˆ
ξ 1,v soit l’identité
sur I v et λ 1 soit non ramifié en v.
Remarque. C’est le lemme 7.1 de [18]. Nous reprenons la démonstration car Arthur
formule les conditions de non-ramification un peu différemment de nous.
Preuve. Fixons une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G conservée par l’action galoisienne. Il s’en déduit un automorphisme ˆ
θ. Notons ( ˆ
B, ˆ
T ) la paire de Borel sousjacente à ˆ
E. On peut supposer que ad ˜
s conserve cette paire. Posons ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
,
ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 . C’est une paire de Borel de ˆ
G
et on peut supposer qu’elle est conservée
par l’action galoisienne σ → σ G . Posons
ˆ
G
1 = ( ˆ
G
× ˆ
T
)/ diag(Z( ˆ
G
)).
Ce groupe est à centre connexe (isomorphe à ˆ
T
) et s’insère dans une extension
1 → ˆ
G
→ ˆ
G
1 → ˆ
T
ad → 1.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
valeurs dans ˆ
G
de sorte que ad h(w) ad sw ( ˆ
B
, ˆ
T
) = ω S ,G (w)( ˆ
B
, ˆ
T
). En posant
h(w)s w = (x(w), w), l’application x ainsi définie au voisinage de w 0 convient.
Cela prouve la continuité de d. On peut munir le tore ˆ
T de l’action galoisienne
σ → ω S ,G (σ) ◦ σ. Notons ˆ
S ce tore muni de cette action. On peut considérer d
comme une application à valeurs dans ˆ
S/ ˆ
S
. On vérifie qu’alors, c’est un cocycle.
De plus, pour v ∈ V , d est triviale sur I v . En effet, pour w ∈ I v , on a g
1 (w) = 1
et l’hypothèse v ∈ V ram (G
) nous permet de choisir x(w) = 1, d’où d(w) = 1. On
considère la suite exacte
1 → ˆ
S
→ ˆ
S → ˆ
S/ ˆ
S
→ 1
D’après (2), on peut relever d en un cocycle e : W F → ˆ
S tel que, pour tout
v ∈ V , e soit trivial sur I v . Fixons un tel cocycle. Pour tout w ∈ W F , posons
y(w) = e(w)g
1 (w). Alors (y(w), w) appartient à G
. L’application
L S
→
G
(t, w) → (te(w), w)
vérifie les conditions du lemme.
VI.3.3 Données auxiliaires
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On suppose ˜
G
(F ) = ∅.
La notion de données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 se définit comme dans le cas local
([I] 2.1). A de telles données est associé un caractère λ 1 de C 1 (A F ) et un caractère
λ
+
G
1
de G
1 (A F ), à valeurs réelles positives (cf. [I] 7.1). Ces deux caractères sont
automorphes, c’est-à-dire triviaux respectivement sur C 1 (F ) et G
1 (F ). On dit que
les données auxiliaires sont unitaires si λ
+
G
1
est trivial.
Lemme. On peut choisir de telles données auxiliaires unitaires de sorte que, pour
v ∈ V ram (G
), le groupe G
1,v soit non ramifié, le plongement ˆ
ξ 1,v soit l’identité
sur I v et λ 1 soit non ramifié en v.
Remarque. C’est le lemme 7.1 de [18]. Nous reprenons la démonstration car Arthur
formule les conditions de non-ramification un peu différemment de nous.
Preuve. Fixons une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G conservée par l’action galoisienne. Il s’en déduit un automorphisme ˆ
θ. Notons ( ˆ
B, ˆ
T ) la paire de Borel sousjacente à ˆ
E. On peut supposer que ad ˜
s conserve cette paire. Posons ˆ
B
= ˆ
B ∩ ˆ
G
,
ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 . C’est une paire de Borel de ˆ
G
et on peut supposer qu’elle est conservée
par l’action galoisienne σ → σ G . Posons
ˆ
G
1 = ( ˆ
G
× ˆ
T
)/ diag(Z( ˆ
G
)).
Ce groupe est à centre connexe (isomorphe à ˆ
T
) et s’insère dans une extension
1 → ˆ
G
→ ˆ
G
1 → ˆ
T
ad → 1.