VI.3. Endoscopie
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conservée par la nouvelle action. La paire de Borel ( ˆ
B
, ˆ
T
) = ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ) se
complète en une paire de Borel épinglée de ˆ
G
. Le tore dual de S
s’identifie à ˆ
T
ˆ
θ,0
muni de l’action galoisienne σ → ω S ,G (σ) ◦ σ, où ω S ,G est un cocycle à valeurs
dans W
θ . On note ˆ
S
ce tore muni de cette action galoisienne.
Lemme. Le plongement ˆ
S
⊂ ˆ
G ⊂ G
se prolonge en un plongement
L S
→ G
⊂
L G de sorte que, pour toute place v ∈ Val(F ) telle que v ∈ V ram (G
) et S
soit
non ramifié en v, l’image d’un élément w du groupe d’inertie I v soit (1, w) ∈
L G.
Preuve. Notons V la réunion de V ram (G
) et de l’ensemble des places au-dessus
desquelles S
est ramifié. Posons ˆ
G
1 = ˆ
G
ˆ
θ,0 et
L G
1 = ˆ
G
1
W F ⊂
L G. On
commence par prouver que
(3) le plongement ˆ
S
⊂ ˆ
G
1 se prolonge en un plongement
L S
→
L G
1 qui possède
les propriétés de l’énoncé.
Notons E l’extension galoisienne finie de F telle que Γ E soit l’intersection
des noyaux des actions de Γ F sur ˆ
G et sur ˆ
S
. Cette extension n’est pas ramifiée
au-dessus des places hors de V . Le cocycle ω S ,G se factorise par Gal(E/F ). Tout
élément de W
θ se relevant dans ˆ
G
1 , on peut fixer une application b : Gal(E/F ) →
ˆ
G
1 de sorte que b(σ) soit un relèvement de ω S ,G (σ) pour tout σ ∈ Gal(E/F ). Le
cobord
db(σ, σ
) = b(σ)σ(b(σ
))b(σσ
)
−1
est un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans ˆ
S
. D’après (1), on peut fixer une cochaîne
continue μ : W F → ˆ
S
telle que μ(I v ) = 1 pour tout v ∈ V et dμ = db. Alors le
plongement
L S
→
L G
1
(t, w) → (tμ(w)
−1 b(w), w)
satisfait les conditions requises (on a relevé b en une application définie sur W F
via la projection W F → Gal(E/F )). Cela prouve (3).
On fixe un plongement (t, w) → (tg
1 (w), w) vérifiant (3). Rappelons que,
pour tout w ∈ W F , il existe g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw préserve la paire
épinglée de ˆ
G
que l’on a fixée plus haut. L’élément g(w) normalise ˆ
T , son image
ω G (w) dans W est fixe par θ. Pour tout w ∈ W F , on a une égalité ω S ,G (w) =
ω S ,G (w)ω G (w), où ω S ,G (w) ∈ W
G
. Il en résulte que, pour tout w, on peut
choisir (x(w), w) ∈ G
tel que x(w) normalise ˆ
T et que son image dans W soit
ω S ,G (w). Notons que x(w) est bien déterminé à multiplication à gauche près
par un élément de ˆ
S
. Il existe t(w) ∈ ˆ
T tel que x(w) = t(w)g
1 (w). L’image
d(w) de t(w) dans ˆ
T / ˆ
S
est uniquement déterminée. Montrons que l’application
d : W F → ˆ
T / ˆ
S
est continue. Il suffit de montrer que, pour tout w 0 , on peut
choisir x(w) continu au voisinage de w 0 . Par hypothèse, on peut choisir une section
continue w → s w de la projection G
→ W F . En général, l’élément s w ne conserve
pas la paire ( ˆ
B
, ˆ
T
). Mais la paire s w ( ˆ
B
, ˆ
T
) varie continuement en w. Dans
un voisinage de w 0 , on peut donc fixer une application continue w → h(w) à
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conservée par la nouvelle action. La paire de Borel ( ˆ
B
, ˆ
T
) = ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ) se
complète en une paire de Borel épinglée de ˆ
G
. Le tore dual de S
s’identifie à ˆ
T
ˆ
θ,0
muni de l’action galoisienne σ → ω S ,G (σ) ◦ σ, où ω S ,G est un cocycle à valeurs
dans W
θ . On note ˆ
S
ce tore muni de cette action galoisienne.
Lemme. Le plongement ˆ
S
⊂ ˆ
G ⊂ G
se prolonge en un plongement
L S
→ G
⊂
L G de sorte que, pour toute place v ∈ Val(F ) telle que v ∈ V ram (G
) et S
soit
non ramifié en v, l’image d’un élément w du groupe d’inertie I v soit (1, w) ∈
L G.
Preuve. Notons V la réunion de V ram (G
) et de l’ensemble des places au-dessus
desquelles S
est ramifié. Posons ˆ
G
1 = ˆ
G
ˆ
θ,0 et
L G
1 = ˆ
G
1
W F ⊂
L G. On
commence par prouver que
(3) le plongement ˆ
S
⊂ ˆ
G
1 se prolonge en un plongement
L S
→
L G
1 qui possède
les propriétés de l’énoncé.
Notons E l’extension galoisienne finie de F telle que Γ E soit l’intersection
des noyaux des actions de Γ F sur ˆ
G et sur ˆ
S
. Cette extension n’est pas ramifiée
au-dessus des places hors de V . Le cocycle ω S ,G se factorise par Gal(E/F ). Tout
élément de W
θ se relevant dans ˆ
G
1 , on peut fixer une application b : Gal(E/F ) →
ˆ
G
1 de sorte que b(σ) soit un relèvement de ω S ,G (σ) pour tout σ ∈ Gal(E/F ). Le
cobord
db(σ, σ
) = b(σ)σ(b(σ
))b(σσ
)
−1
est un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans ˆ
S
. D’après (1), on peut fixer une cochaîne
continue μ : W F → ˆ
S
telle que μ(I v ) = 1 pour tout v ∈ V et dμ = db. Alors le
plongement
L S
→
L G
1
(t, w) → (tμ(w)
−1 b(w), w)
satisfait les conditions requises (on a relevé b en une application définie sur W F
via la projection W F → Gal(E/F )). Cela prouve (3).
On fixe un plongement (t, w) → (tg
1 (w), w) vérifiant (3). Rappelons que,
pour tout w ∈ W F , il existe g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw préserve la paire
épinglée de ˆ
G
que l’on a fixée plus haut. L’élément g(w) normalise ˆ
T , son image
ω G (w) dans W est fixe par θ. Pour tout w ∈ W F , on a une égalité ω S ,G (w) =
ω S ,G (w)ω G (w), où ω S ,G (w) ∈ W
G
. Il en résulte que, pour tout w, on peut
choisir (x(w), w) ∈ G
tel que x(w) normalise ˆ
T et que son image dans W soit
ω S ,G (w). Notons que x(w) est bien déterminé à multiplication à gauche près
par un élément de ˆ
S
. Il existe t(w) ∈ ˆ
T tel que x(w) = t(w)g
1 (w). L’image
d(w) de t(w) dans ˆ
T / ˆ
S
est uniquement déterminée. Montrons que l’application
d : W F → ˆ
T / ˆ
S
est continue. Il suffit de montrer que, pour tout w 0 , on peut
choisir x(w) continu au voisinage de w 0 . Par hypothèse, on peut choisir une section
continue w → s w de la projection G
→ W F . En général, l’élément s w ne conserve
pas la paire ( ˆ
B
, ˆ
T
). Mais la paire s w ( ˆ
B
, ˆ
T
) varie continuement en w. Dans
un voisinage de w 0 , on peut donc fixer une application continue w → h(w) à