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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
C’est une cochaîne continue et invariante à gauche par I E/F , donc aussi à droite
puisque I E/F est distingué. Pour w 1 , w 2 ∈ W E/F , on a l’égalité
a(w 1 , w 2 )b
(w 1 w 2 ) = b
(w 1 )w 1 (b
(w 2 )).
Soient i 1 , i 2 ∈ I E/F . Remplaçons w 1 par i 1 w 1 et w 2 par i 2 w 2 . Puisque les images
de i 1 et i 2 dans Gal(E/F ) sont triviales, on obtient
a(w 1 , w 2 )b
(i 3 w 1 w 2 ) = b
(i 1 w 1 )w 1 (b
(i 2 w 2 )),
où i 3 = i 1 w 1 i 2 w
−1
1 . En intégrant cette égalité en i 1 et i 2 , on obtient
a(w 1 , w 2 )b(w 1 w 2 ) = b(w 1 )w 1 (b(w 2 )),
c’est-à-dire que a est le bord de b.
Soient E une extension galoisienne finie de F et ˆ
T i , pour i = 1, 2, 3, des tores
complexes munis d’actions de Γ E/F . On suppose donnée une suite exacte
1 → ˆ
T 1 → ˆ
T 2 → ˆ
T 3 → 1
équivariante pour ces actions. Soit U un sous-groupe de I
E
F . On a
(2) pour tout cocycle continu b 3 : W F → ˆ
T 3 biinvariant par U , il existe un cocycle
continu b 2 : W F → ˆ
T 2 , biinvariant par U , dont l’image par composition avec
l’homomorphisme ˆ
T 2 → ˆ
T 3 soit égale à b 3 .
Preuve. D’après la preuve de [56] lemme 4, il existe un cocycle b
2 : W F → ˆ
T 2
dont l’image par composition avec l’homomorphisme ˆ
T 2 → ˆ
T 3 soit égale à b 3 . On
peut fixer une extension galoisienne finie E
de E telle que b
2 et b 3 se factorisent
par W E /F . Notons U
la clôture de l’image de U dans W E /F et munissons ce
groupe compact de la mesure de Haar de masse totale 1. Le cocycle b 3 est encore
biinvariant par U
. Pour w ∈ W E /F , posons
b 2 (w) =
U
b
2 (iw) di.
Le même calcul que ci-dessus montre que b 2 est encore un cocycle. Son relèvement
en un cocycle sur W F est biinvariant par U . Puisque b 3 est biinvariant par U
, b 2
vérifie comme b
2 la dernière condition de l’assertion.
Remarque. Les deux propriétés ci-dessus ont été prouvées de façon différente par
Arthur ([18], preuve du lemme 7.1).
Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) et S
un soustore maximal de G
défini sur F . Fixons comme en [I] 1.5 une paire de Borel
épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G conservée par ad ˜
s . On note ˆ
θ l’automorphisme
déterminé par cette paire et on adapte l’action galoisienne de sorte que ˆ
E soit
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
C’est une cochaîne continue et invariante à gauche par I E/F , donc aussi à droite
puisque I E/F est distingué. Pour w 1 , w 2 ∈ W E/F , on a l’égalité
a(w 1 , w 2 )b
(w 1 w 2 ) = b
(w 1 )w 1 (b
(w 2 )).
Soient i 1 , i 2 ∈ I E/F . Remplaçons w 1 par i 1 w 1 et w 2 par i 2 w 2 . Puisque les images
de i 1 et i 2 dans Gal(E/F ) sont triviales, on obtient
a(w 1 , w 2 )b
(i 3 w 1 w 2 ) = b
(i 1 w 1 )w 1 (b
(i 2 w 2 )),
où i 3 = i 1 w 1 i 2 w
−1
1 . En intégrant cette égalité en i 1 et i 2 , on obtient
a(w 1 , w 2 )b(w 1 w 2 ) = b(w 1 )w 1 (b(w 2 )),
c’est-à-dire que a est le bord de b.
Soient E une extension galoisienne finie de F et ˆ
T i , pour i = 1, 2, 3, des tores
complexes munis d’actions de Γ E/F . On suppose donnée une suite exacte
1 → ˆ
T 1 → ˆ
T 2 → ˆ
T 3 → 1
équivariante pour ces actions. Soit U un sous-groupe de I
E
F . On a
(2) pour tout cocycle continu b 3 : W F → ˆ
T 3 biinvariant par U , il existe un cocycle
continu b 2 : W F → ˆ
T 2 , biinvariant par U , dont l’image par composition avec
l’homomorphisme ˆ
T 2 → ˆ
T 3 soit égale à b 3 .
Preuve. D’après la preuve de [56] lemme 4, il existe un cocycle b
2 : W F → ˆ
T 2
dont l’image par composition avec l’homomorphisme ˆ
T 2 → ˆ
T 3 soit égale à b 3 . On
peut fixer une extension galoisienne finie E
de E telle que b
2 et b 3 se factorisent
par W E /F . Notons U
la clôture de l’image de U dans W E /F et munissons ce
groupe compact de la mesure de Haar de masse totale 1. Le cocycle b 3 est encore
biinvariant par U
. Pour w ∈ W E /F , posons
b 2 (w) =
U
b
2 (iw) di.
Le même calcul que ci-dessus montre que b 2 est encore un cocycle. Son relèvement
en un cocycle sur W F est biinvariant par U . Puisque b 3 est biinvariant par U
, b 2
vérifie comme b
2 la dernière condition de l’assertion.
Remarque. Les deux propriétés ci-dessus ont été prouvées de façon différente par
Arthur ([18], preuve du lemme 7.1).
Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) et S
un soustore maximal de G
défini sur F . Fixons comme en [I] 1.5 une paire de Borel
épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G conservée par ad ˜
s . On note ˆ
θ l’automorphisme
déterminé par cette paire et on adapte l’action galoisienne de sorte que ˆ
E soit