VI.3. Endoscopie
645
Lemme. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Supposons
˜
G
(F ) = ∅. Alors l’ensemble des éléments ˜
G-réguliers de ˜
G
(F ) n’est pas vide
et, pour tout élément δ de cet ensemble, il existe γ ∈ ˜
G reg (F ) qui correspond à δ.
La preuve est la même que dans le cas local, cf. [I] lemme 1.9.
Remarque. Il se peut que ˜
G
(F ) soit vide. Par exemple, soient d ∈ F
× , G = SL(2),
˜
G = {γ ∈ GL(2); det(γ) = d} et a = 1. Pour toute extension quadratique E de
F , il y a une donnée endoscopique G
telle que G
(F ) est le groupe des éléments
de E de norme 1. Alors ˜
G
(F ) est l’ensemble des éléments de E de norme d. On
peut trouver choisir d et E de sorte que cet ensemble soit vide.
Comme dans le cas local, on dit que G
est elliptique si Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 .
On fixe une paire parabolique (P
0 , M
0 ) de G
, définie sur F et minimale.
Pour tout v ∈ V ram (G
), supposons fixé un sous-groupe compact hyperspécial K
v
de G
(F v ) vérifiant des conditions analogues à celles de 1.1. D’après [I] 6.2, l’espace
˜
K v détermine un espace hyperspécial ˜
K
v dans ˜
G
(F v ) associé à K
v . Ces ensembles
vérifient encore la condition de compatibilité globale précédente.
VI.3.2 Plongements de tores et ramification
Soient ˆ
T un tore complexe et E une extension galoisienne finie de F . On suppose ˆ
T
muni d’une action algébrique de Gal(E/F ). Introduisons le groupe de Weil relatif
W E/F . C’est un quotient de W F et il s’insère dans une suite exacte
1 → E
×
\A
×
E → W E/F → Gal(E/F ) → 1,
cf. [75] paragraphe 1. Notons I
E
F le sous-groupe distingué de W F engendré par les
images des groupes d’inertie I v ⊂ W F pour toutes les places finies v de F non
ramifiées dans E et notons I E/F son image dans W E/F . Le groupe I E/F est aussi
l’image dans W E/F du sous-groupe
w o
×
w , où le produit est pris sur les places
finies w de E au-dessus d’une telle place v de F et où o
×
w est le groupe des unités
de E
×
w . Soit a un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans ˆ
T , que l’on relève en un 2-cocycle
de W E/F dans ˆ
T . Alors
(1) il existe une cochaîne continue b : W E/F → ˆ
T , biinvariante par I E/F , telle
que a soit le bord de b.
Preuve. Langlands prouve qu’il existe une cochaîne continue b
: W E/F → ˆ
T telle
que a soit le bord de b
([56] lemme 4). Munissons le groupe compact I E/F de la
mesure de Haar de masse totale 1. Pour w ∈ W E/F , posons
b(w) =
I E/F
b
(iw) di.
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Lemme. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Supposons
˜
G
(F ) = ∅. Alors l’ensemble des éléments ˜
G-réguliers de ˜
G
(F ) n’est pas vide
et, pour tout élément δ de cet ensemble, il existe γ ∈ ˜
G reg (F ) qui correspond à δ.
La preuve est la même que dans le cas local, cf. [I] lemme 1.9.
Remarque. Il se peut que ˜
G
(F ) soit vide. Par exemple, soient d ∈ F
× , G = SL(2),
˜
G = {γ ∈ GL(2); det(γ) = d} et a = 1. Pour toute extension quadratique E de
F , il y a une donnée endoscopique G
telle que G
(F ) est le groupe des éléments
de E de norme 1. Alors ˜
G
(F ) est l’ensemble des éléments de E de norme d. On
peut trouver choisir d et E de sorte que cet ensemble soit vide.
Comme dans le cas local, on dit que G
est elliptique si Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 .
On fixe une paire parabolique (P
0 , M
0 ) de G
, définie sur F et minimale.
Pour tout v ∈ V ram (G
), supposons fixé un sous-groupe compact hyperspécial K
v
de G
(F v ) vérifiant des conditions analogues à celles de 1.1. D’après [I] 6.2, l’espace
˜
K v détermine un espace hyperspécial ˜
K
v dans ˜
G
(F v ) associé à K
v . Ces ensembles
vérifient encore la condition de compatibilité globale précédente.
VI.3.2 Plongements de tores et ramification
Soient ˆ
T un tore complexe et E une extension galoisienne finie de F . On suppose ˆ
T
muni d’une action algébrique de Gal(E/F ). Introduisons le groupe de Weil relatif
W E/F . C’est un quotient de W F et il s’insère dans une suite exacte
1 → E
×
\A
×
E → W E/F → Gal(E/F ) → 1,
cf. [75] paragraphe 1. Notons I
E
F le sous-groupe distingué de W F engendré par les
images des groupes d’inertie I v ⊂ W F pour toutes les places finies v de F non
ramifiées dans E et notons I E/F son image dans W E/F . Le groupe I E/F est aussi
l’image dans W E/F du sous-groupe
w o
×
w , où le produit est pris sur les places
finies w de E au-dessus d’une telle place v de F et où o
×
w est le groupe des unités
de E
×
w . Soit a un 2-cocycle de Gal(E/F ) dans ˆ
T , que l’on relève en un 2-cocycle
de W E/F dans ˆ
T . Alors
(1) il existe une cochaîne continue b : W E/F → ˆ
T , biinvariante par I E/F , telle
que a soit le bord de b.
Preuve. Langlands prouve qu’il existe une cochaîne continue b
: W E/F → ˆ
T telle
que a soit le bord de b
([56] lemme 4). Munissons le groupe compact I E/F de la
mesure de Haar de masse totale 1. Pour w ∈ W E/F , posons
b(w) =
I E/F
b
(iw) di.