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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Par simple sommation sur p du développement de I
˜
Gp
geom (f p , ω) fourni par la proposition 2.7, on obtient
I
K ˜
G
g´ eom (f , ω) =
K ˜
M∈L(K ˜
M0)
|W
K ˜
M
||W
K ˜
G
|
−1
OV ∈K ˜
Mss(FV )/ conj
I
K ˜
G
K ˜
M
(A
K ˜
M (O V , ω), f ).
Donnons quelques explications sur les notations. Un élément K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 )
est une famille ( ˜
M p ) p∈Π M où Π
M est un sous-ensemble de Π et, pour tout p ∈
Π
M , ˜
M p est un espace de Levi de ˜
G p (ces espaces doivent vérifier des conditions de cohérence, cf. 1.17). Un élément O V ∈ K ˜
M ss (F V )/ conj est un élément
de ˜
M p,ss (F V )/ conj pour un certain p ∈ Π
M . Par définition, A
K ˜
M (O V , ω) =
A
˜
Mp (O V , ω) et
I
K ˜
G
K ˜
M
(A
K ˜
M (O V , ω), f ) = I
˜
Gp
˜
Mp
(A
˜
Mp (O V , ω), f p ).
VI.3 Endoscopie
VI.3.1 Données endoscopiques
Une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) est un triplet G
= (G
, G
, ˜
s) vérifiant les
mêmes conditions que dans le cas local (cf. [I] 1.5), à l’unique différence suivante
près. On suppose qu’il existe un cocycle a : W F → Z( ˆ
G) tel que :
– pour tout (g, w) ∈ G
, on ait l’égalité ad ˜
s (g, w) = (a(w)g, w) ;
– l’image de a dans H
1 (W F , , Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F , Z( ˆ
G)) est égal à a.
La notion d’équivalence de données endoscopiques est la même que dans le
cas local. Pour une donnée endoscopique G
comme ci-dessus, on définit l’espace
endoscopique ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G) comme en [I] 1.7 (l’ensemble Z( ˜
G) a une
structure sur F ). On note V ram (G
) la réunion de V ram et de l’ensemble des places
v où G
v est ramifié (on rappelle que, pour v ∈ V ram , on dit que G
v est non ramifié
si le groupe d’inertie I v ⊂ W Fv est contenu dans G
v ). On dit que G
est relevante
si elle vérifie les deux conditions
• ˜
G
(F ) = ∅ ;
• pour tout v ∈ Val(F ), la donnée G
v est relevante.
Attention. Il ne s’ensuit pas de ces conditions qu’il existe δ ∈ ˜
G
(F ) qui soit
˜
G-régulier et tel qu’en toute place v, δ corresponde à un élément γ v ∈ ˜
G(F v ).
La situation se simplifie toutefois dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à
torsion intérieure, d’après le lemme suivant.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Par simple sommation sur p du développement de I
˜
Gp
geom (f p , ω) fourni par la proposition 2.7, on obtient
I
K ˜
G
g´ eom (f , ω) =
K ˜
M∈L(K ˜
M0)
|W
K ˜
M
||W
K ˜
G
|
−1
OV ∈K ˜
Mss(FV )/ conj
I
K ˜
G
K ˜
M
(A
K ˜
M (O V , ω), f ).
Donnons quelques explications sur les notations. Un élément K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 )
est une famille ( ˜
M p ) p∈Π M où Π
M est un sous-ensemble de Π et, pour tout p ∈
Π
M , ˜
M p est un espace de Levi de ˜
G p (ces espaces doivent vérifier des conditions de cohérence, cf. 1.17). Un élément O V ∈ K ˜
M ss (F V )/ conj est un élément
de ˜
M p,ss (F V )/ conj pour un certain p ∈ Π
M . Par définition, A
K ˜
M (O V , ω) =
A
˜
Mp (O V , ω) et
I
K ˜
G
K ˜
M
(A
K ˜
M (O V , ω), f ) = I
˜
Gp
˜
Mp
(A
˜
Mp (O V , ω), f p ).
VI.3 Endoscopie
VI.3.1 Données endoscopiques
Une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) est un triplet G
= (G
, G
, ˜
s) vérifiant les
mêmes conditions que dans le cas local (cf. [I] 1.5), à l’unique différence suivante
près. On suppose qu’il existe un cocycle a : W F → Z( ˆ
G) tel que :
– pour tout (g, w) ∈ G
, on ait l’égalité ad ˜
s (g, w) = (a(w)g, w) ;
– l’image de a dans H
1 (W F , , Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F , Z( ˆ
G)) est égal à a.
La notion d’équivalence de données endoscopiques est la même que dans le
cas local. Pour une donnée endoscopique G
comme ci-dessus, on définit l’espace
endoscopique ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G) comme en [I] 1.7 (l’ensemble Z( ˜
G) a une
structure sur F ). On note V ram (G
) la réunion de V ram et de l’ensemble des places
v où G
v est ramifié (on rappelle que, pour v ∈ V ram , on dit que G
v est non ramifié
si le groupe d’inertie I v ⊂ W Fv est contenu dans G
v ). On dit que G
est relevante
si elle vérifie les deux conditions
• ˜
G
(F ) = ∅ ;
• pour tout v ∈ Val(F ), la donnée G
v est relevante.
Attention. Il ne s’ensuit pas de ces conditions qu’il existe δ ∈ ˜
G
(F ) qui soit
˜
G-régulier et tel qu’en toute place v, δ corresponde à un élément γ v ∈ ˜
G(F v ).
La situation se simplifie toutefois dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à
torsion intérieure, d’après le lemme suivant.