VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
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VI.2.8 La partie géométrique de la formule des traces invariante,
variante avec caractère central
Dans la situation de 2.3, pour un ensemble fini V de places contenant V 1,ram ,
on peut rendre invariante la distribution f V → J
˜
G1
g´ eom,λ1 (f V ) sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗
Mes(G(F V ))
∗ par le même procédé qu’au paragraphe précédent. En adaptant les
définitions de façon plus ou moins évidente, on obtient la formule
(1)
I
˜
G1
g´ eom,λ1 (f V )
=
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O∈ ˜
Mss(FV )/ conj
I
˜
G1
˜
M1,λ1
(A
˜
M1
λ1 (V, O), f V ).
Remarquons que, pour O ∈ ˜
G ss (F V )/ conj, la distribution A
˜
G1
λ1 (V, O) est
donnée par une formule similaire à 2.3(11), à savoir avec les notations de ce paragraphe :
(2)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G
λ1 (V, O), f V ) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
La somme intérieure porte sur les éléments de ˜
G 1,ss (F V )/ conj qui se projettent
sur O. Cet ensemble n’est pas dénombrable, mais seuls un nombre fini de termes
sont non nuls.
Dans la situation de 2.6, on a un résultat similaire à celui du lemme de ce
paragraphe :
(3) les distributions I
˜
G1
g´ eom,λ1 et I
˜
G2
g´ eom,λ2 définies sur
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
et C
∞
c,λ2 ( ˜
G 2 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
se correspondent par l’isomorphisme défini en 2.6 entre ces espaces.
VI.2.9 Variante pour les K-espaces
Considérons un K-espace comme en 1.16. Soit V un ensemble fini de places contenant V ram . Pour f = ⊕ p∈Π f p ∈ I(K ˜
G(F V ), ω), on pose
I
K ˜
G
geom (f , ω) =
p∈Π
I
˜
Gp
geom (f p , ω).