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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Notons que les O qui contribuent vérifient non seulement O ⊂ O V , mais aussi
que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe
˜
K v , cf. 2.2(3). Il n’y en a qu’un nombre fini d’après le lemme 2.1. Pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), la formule 2.2(8) se récrit
(1) J
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
OV ∈ ˜
Mss(FV )/ conj
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f V ).
Toutes les distributions intervenant sont à support dans l’ensemble des γ ∈ ˜
G(F V )
tels que ˜
H ˜
G (γ) = 0. Elles se prolongent donc à tout C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V ))
et l’égalité ci-dessus reste vraie sur cet espace.
En utilisant le lemme 1.7, on définit une distribution f → I
˜
G
g´ eom (f , ω) sur
C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )) par la formule de récurrence
(2)
I
˜
G
g´ eom, (f , ω) = J
˜
G
g´ eom (f , ω) −
˜
L∈L( ˜
M0), ˜
L = ˜
G
|W
˜
L
||W
˜
G
|
−1 I
˜
L
g´ eom (φ ˜
L (f ), ω).
En [8] paragraphe 2, Arthur montre que c’est une distribution ω-équivariante
(cette propriété est comme toujours supposée par récurrence pour que la définition ci-dessus ait un sens). Elle se factorise donc en une forme linéaire sur
I ac,glob ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )). Soulignons que cette distribution dépend implicitement des ˜
K v pour v ∈ V .
Proposition. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité
I
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
OV ∈ ˜
Mss(FV )/ conj
I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f ).
La somme est en fait finie.
Preuve. On démontre plus généralement la formule de l’énoncé pour
f ∈ C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
En raisonnant par récurrence, on exprime les termes I
˜
L
g´ eom (φ ˜
L (f ), ω) qui interviennent dans la relation (2) par la formule de l’énoncé. On exprime le terme
J
˜
G
g´ eom (f , ω) par la formule (1). En regroupant les termes, on obtient
I
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
OV ∈ ˜
Mss(FV )/ conj
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), φ ˜
L (f ))
.
La dernière somme intérieure est par définition I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f ) et on obtient
la formule de l’énoncé.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Notons que les O qui contribuent vérifient non seulement O ⊂ O V , mais aussi
que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe
˜
K v , cf. 2.2(3). Il n’y en a qu’un nombre fini d’après le lemme 2.1. Pour f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), la formule 2.2(8) se récrit
(1) J
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
OV ∈ ˜
Mss(FV )/ conj
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f V ).
Toutes les distributions intervenant sont à support dans l’ensemble des γ ∈ ˜
G(F V )
tels que ˜
H ˜
G (γ) = 0. Elles se prolongent donc à tout C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V ))⊗Mes(G(F V ))
et l’égalité ci-dessus reste vraie sur cet espace.
En utilisant le lemme 1.7, on définit une distribution f → I
˜
G
g´ eom (f , ω) sur
C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )) par la formule de récurrence
(2)
I
˜
G
g´ eom, (f , ω) = J
˜
G
g´ eom (f , ω) −
˜
L∈L( ˜
M0), ˜
L = ˜
G
|W
˜
L
||W
˜
G
|
−1 I
˜
L
g´ eom (φ ˜
L (f ), ω).
En [8] paragraphe 2, Arthur montre que c’est une distribution ω-équivariante
(cette propriété est comme toujours supposée par récurrence pour que la définition ci-dessus ait un sens). Elle se factorise donc en une forme linéaire sur
I ac,glob ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )). Soulignons que cette distribution dépend implicitement des ˜
K v pour v ∈ V .
Proposition. Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité
I
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
OV ∈ ˜
Mss(FV )/ conj
I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f ).
La somme est en fait finie.
Preuve. On démontre plus généralement la formule de l’énoncé pour
f ∈ C
∞
ac,glob ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
En raisonnant par récurrence, on exprime les termes I
˜
L
g´ eom (φ ˜
L (f ), ω) qui interviennent dans la relation (2) par la formule de l’énoncé. On exprime le terme
J
˜
G
g´ eom (f , ω) par la formule (1). En regroupant les termes, on obtient
I
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
OV ∈ ˜
Mss(FV )/ conj
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), φ ˜
L (f ))
.
La dernière somme intérieure est par définition I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (O V , ω), f ) et on obtient
la formule de l’énoncé.