VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
641
On peut la considérer comme un élément de C
∞
c ( ˜
G 2 (A F )). On vérifie qu’on a alors
l’égalité
f 2 =
C2(AF )
φ
c
2 λ 2 (c) dc.
Utilisons la formule 2.3(3) :
J
˜
G1
O,λ1 (f 1 ⊗ dg) = m
−1
1
C1(F )\C1(AF )
O1
J
˜
G1
O1 (φ
c1
1 ⊗ dg 1 )λ 1 (c 1 ) dc 1 ,
où m 1 = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F )) et où la somme porte sur les O 1 au-dessus de
O. Pour chaque O 1 , on utilise la première remarque ci-dessus. Elle entraîne que,
pour tout c 1 , on a l’égalité
J
˜
G1
O1 (φ
c1
1 ⊗ dg 1 ) = m
−1
2
C2(F )\C2(AF )
O12
J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
12 ⊗ dg 12 ) dc 2 ,
où la signification de m 2 est claire et où la somme porte sur les O 12 ∈ ˜
G 12,ss (F )/conj
au-dessus de O 1 . On obtient
J
˜
G1
O,λ1 (f 1 ⊗ dg) = m
−1
1 m
−1
2
C1(F )\C1(AF )×C2(F )\C2(AF )
O12
J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
12 ⊗ dg 12 )λ 1 (c 1 ) dc 1 dc 2 ,
où cette fois, la somme porte sur les O 12 au-dessus de O. On a une formule analogue
en permutant les indices 1 et 2. Il nous suffit de fixer O 12 au-dessus de O et de
démontrer que, pour tous c 1 , c 2 , on a l’égalité
J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
12 ⊗ dg 12 )λ 1 (c 1 ) = J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
21 ⊗ dg 12 )λ 2 (c 2 ).
Mais on voit que la fonction λ 2 (c 2 )φ
c1c2
21
est le produit de λ 1 (c 1 )φ
c1c2
12
et du caractère automorphe ˜
λ 12 de ˜
G 12 (A F ). L’égalité précédente résulte de la deuxième
remarque du début de la preuve.
VI.2.7 La partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante
On revient à la situation de 2.1. On fixe un ensemble fini V de places contenant
V ram . On note ˜
G ss (F V )/ conj l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples
par G(F V ) dans ˜
G(F V ), autrement dit l’ensemble des familles O V = (O v ) v∈V , où,
pour tout v ∈ V , O v est une classe de conjugaison semi-simple par G(F v ) dans
˜
G(F v ). Soit O V une telle famille. Pour O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, la relation O ⊂ O V
signifie que la classe de conjugaison par G(F V ) engendrée par O est égale à O V .
On définit un élément A
˜
G (O V , ω) ∈ D orb ( ˜
G(F V ), ω)⊗Mes(G(F V ))
∗ par la formule
A
˜
G (O V , ω) =
O∈ ˜
Gss(F )/ conj,O⊂OV
A
˜
G (V, O, ω).
641
On peut la considérer comme un élément de C
∞
c ( ˜
G 2 (A F )). On vérifie qu’on a alors
l’égalité
f 2 =
C2(AF )
φ
c
2 λ 2 (c) dc.
Utilisons la formule 2.3(3) :
J
˜
G1
O,λ1 (f 1 ⊗ dg) = m
−1
1
C1(F )\C1(AF )
O1
J
˜
G1
O1 (φ
c1
1 ⊗ dg 1 )λ 1 (c 1 ) dc 1 ,
où m 1 = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F )) et où la somme porte sur les O 1 au-dessus de
O. Pour chaque O 1 , on utilise la première remarque ci-dessus. Elle entraîne que,
pour tout c 1 , on a l’égalité
J
˜
G1
O1 (φ
c1
1 ⊗ dg 1 ) = m
−1
2
C2(F )\C2(AF )
O12
J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
12 ⊗ dg 12 ) dc 2 ,
où la signification de m 2 est claire et où la somme porte sur les O 12 ∈ ˜
G 12,ss (F )/conj
au-dessus de O 1 . On obtient
J
˜
G1
O,λ1 (f 1 ⊗ dg) = m
−1
1 m
−1
2
C1(F )\C1(AF )×C2(F )\C2(AF )
O12
J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
12 ⊗ dg 12 )λ 1 (c 1 ) dc 1 dc 2 ,
où cette fois, la somme porte sur les O 12 au-dessus de O. On a une formule analogue
en permutant les indices 1 et 2. Il nous suffit de fixer O 12 au-dessus de O et de
démontrer que, pour tous c 1 , c 2 , on a l’égalité
J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
12 ⊗ dg 12 )λ 1 (c 1 ) = J
˜
G1,2
O12 (φ
c1c2
21 ⊗ dg 12 )λ 2 (c 2 ).
Mais on voit que la fonction λ 2 (c 2 )φ
c1c2
21
est le produit de λ 1 (c 1 )φ
c1c2
12
et du caractère automorphe ˜
λ 12 de ˜
G 12 (A F ). L’égalité précédente résulte de la deuxième
remarque du début de la preuve.
VI.2.7 La partie géométrique de la formule des traces ω-équivariante
On revient à la situation de 2.1. On fixe un ensemble fini V de places contenant
V ram . On note ˜
G ss (F V )/ conj l’ensemble des classes de conjugaison semi-simples
par G(F V ) dans ˜
G(F V ), autrement dit l’ensemble des familles O V = (O v ) v∈V , où,
pour tout v ∈ V , O v est une classe de conjugaison semi-simple par G(F v ) dans
˜
G(F v ). Soit O V une telle famille. Pour O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, la relation O ⊂ O V
signifie que la classe de conjugaison par G(F V ) engendrée par O est égale à O V .
On définit un élément A
˜
G (O V , ω) ∈ D orb ( ˜
G(F V ), ω)⊗Mes(G(F V ))
∗ par la formule
A
˜
G (O V , ω) =
O∈ ˜
Gss(F )/ conj,O⊂OV
A
˜
G (V, O, ω).