640
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
élément du premier espace, le second en 2.1 en considérant f comme un élément
du second espace. En dévissant les définitions, on vérifie que ces deux termes sont
égaux. Plus finement, pour O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, les deux termes J
˜
G1
O,λ1 (f ⊗ dg) et
J
˜
G
O (f ⊗ dg) définis en 2.3 et 2.1 sont égaux.
D’autre part, soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )) et λ un caractère automorphe de G(A F ).
On en déduit comme en 1.15 une fonction ˜
λ sur ˜
G(A F ) qui vaut 1 sur ˜
G(F ). On
vérifie immédiatement que l’on a l’égalité
J
˜
G
g´ eom ((f ˜
λ) ⊗ dg) = J
˜
G
g´ eom (f ⊗ dg).
Plus finement, pour tout O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, on a l’égalité
J
˜
G
O ((f ˜
λ) ⊗ dg) = J
˜
G
O (f ⊗ dg).
Revenons maintenant à l’énoncé et fixons des mesures sur tous nos groupes.
En considérant la relation 2.3(4), on voit que, par récurrence, il nous suffit de
prouver que, pour f 1,V ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) et f 2,V ∈ C
∞
c,λ2 ( ˜
G 2 (F V )) se correspondant
par l’isomorphisme ci-dessus, on a l’égalité
J
˜
G1
O,λ1 (f 1,V ⊗ dg) = J
˜
G2
O,λ2 (f 2,V ⊗ dg).
Posons f i = f i,V ⊗ 1 ˜
K V
i ,λi pour i = 1, 2. En vertu des définitions, ces fonctions se
correspondent par la relation
f 2 (γ 2 ) = ˜
λ 12 (γ 1 , γ 2 )f 1 (γ 1 )
pour tous (γ 1 , γ 2 ) ∈ ˜
G 12 (A F ). Et la relation à prouver est
J
˜
G1
O,λ1 (f 1 ⊗ dg) = J
˜
G2
O,λ2 (f 2 ⊗ dg).
On s’est ainsi débarrassé de l’ensemble V .
Introduisons une fonction φ 1 ∈ C
∞
c ( ˜
G 1 (A F )) telle que
f 1 =
C1(AF )
φ
c
1 λ 1 (c) dc.
On peut considérer φ 1 comme une fonction sur ˜
G 12 (A F ), invariante par le sousgroupe C 2 (A F ). En la considérant ainsi, on peut introduire une fonction φ 12 ∈
C
∞
c ( ˜
G 12 (A F )) telle que
φ 1 =
C2(AF )
φ
c
12 dc.
Notons φ 21 le produit de φ 12 et de la fonction ˜
λ 12 sur ˜
G 12 (A F ). Définissons une
fonction φ 2 invariante par C 1 (A F ) par
φ 2 =
C1(AF )
φ
c
21 dc.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
élément du premier espace, le second en 2.1 en considérant f comme un élément
du second espace. En dévissant les définitions, on vérifie que ces deux termes sont
égaux. Plus finement, pour O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, les deux termes J
˜
G1
O,λ1 (f ⊗ dg) et
J
˜
G
O (f ⊗ dg) définis en 2.3 et 2.1 sont égaux.
D’autre part, soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )) et λ un caractère automorphe de G(A F ).
On en déduit comme en 1.15 une fonction ˜
λ sur ˜
G(A F ) qui vaut 1 sur ˜
G(F ). On
vérifie immédiatement que l’on a l’égalité
J
˜
G
g´ eom ((f ˜
λ) ⊗ dg) = J
˜
G
g´ eom (f ⊗ dg).
Plus finement, pour tout O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, on a l’égalité
J
˜
G
O ((f ˜
λ) ⊗ dg) = J
˜
G
O (f ⊗ dg).
Revenons maintenant à l’énoncé et fixons des mesures sur tous nos groupes.
En considérant la relation 2.3(4), on voit que, par récurrence, il nous suffit de
prouver que, pour f 1,V ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) et f 2,V ∈ C
∞
c,λ2 ( ˜
G 2 (F V )) se correspondant
par l’isomorphisme ci-dessus, on a l’égalité
J
˜
G1
O,λ1 (f 1,V ⊗ dg) = J
˜
G2
O,λ2 (f 2,V ⊗ dg).
Posons f i = f i,V ⊗ 1 ˜
K V
i ,λi pour i = 1, 2. En vertu des définitions, ces fonctions se
correspondent par la relation
f 2 (γ 2 ) = ˜
λ 12 (γ 1 , γ 2 )f 1 (γ 1 )
pour tous (γ 1 , γ 2 ) ∈ ˜
G 12 (A F ). Et la relation à prouver est
J
˜
G1
O,λ1 (f 1 ⊗ dg) = J
˜
G2
O,λ2 (f 2 ⊗ dg).
On s’est ainsi débarrassé de l’ensemble V .
Introduisons une fonction φ 1 ∈ C
∞
c ( ˜
G 1 (A F )) telle que
f 1 =
C1(AF )
φ
c
1 λ 1 (c) dc.
On peut considérer φ 1 comme une fonction sur ˜
G 12 (A F ), invariante par le sousgroupe C 2 (A F ). En la considérant ainsi, on peut introduire une fonction φ 12 ∈
C
∞
c ( ˜
G 12 (A F )) telle que
φ 1 =
C2(AF )
φ
c
12 dc.
Notons φ 21 le produit de φ 12 et de la fonction ˜
λ 12 sur ˜
G 12 (A F ). Définissons une
fonction φ 2 invariante par C 1 (A F ) par
φ 2 =
C1(AF )
φ
c
21 dc.