VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
639
correspondent par la projection bijective du premier ensemble sur le second. En
effet, pour g 1 ∈ G 1 (F v ), g 1 appartient à K 1,v si et seulement s’il vérifie les deux
conditions suivantes :
– sa projection g dans G(F v ) appartient à K v ;
– pour tout χ ∈ X
∗ (G 1 )
ΓF v (cf. preuve de (13)), on a |χ(g 1 )| Fv = 1.
La deuxième condition étant toujours réalisée pour g 1 unipotent, l’assertion
s’ensuit. Notons f 1 = f 1,V ⊗1 K V
1
, f = f V ⊗1 K V . Alors les restrictions des fonctions
f 1 et f aux éléments unipotents de G 1 (A F ) et G(A F ) s’identifient encore. On voit
alors que, pour tout g 1 ∈ G 1 (A F ), on a l’égalité
k
G1,T
unip (f 1 , g 1 ) = k
G,T
unip (f, g),
où g est la projection de g 1 . On construit J
G1,T
unip (f 1 ), resp. J
G,T
unip (f ), en intégrant
cette fonction sur A G1 G 1 (F )\G 1 (A F ), resp. A G G(F )\G(A F ).
Ces intégrales sont égales, au rapport des mesures près, et ce rapport est bien
sûr mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F )). En prenant ensuite la valeur de ces termes au point
T = T 0 , on obtient (17). Cela achève les preuves de (21) et (19).
VI.2.6 Variante avec caractère central, suite
On continue avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. On se
donne d’autres données
1 → C 2 → G 2 → G → 1, ˜
G 2 → ˜
G
λ 2 vérifiant les mêmes hypothèses, munies de données complémentaires comme
en 1.15. On suppose donné un caractère automorphe λ 12 de G 12 (A F ) tel que la
restriction de λ 12 à C 1 (A F ) × C 2 (A F ) soit λ 1 × λ
−1
2 . Soit V un ensemble fini de
places de F contenant V 12,ram . On a construit en 1.15 une fonction canonique ˜
λ 12,V
sur ˜
G 12 (F V ), dont on déduit un isomorphisme
D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
D g´ eom,λ2 ( ˜
G 2 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
qui se restreint en un isomorphisme
D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
D orb,λ2 ( ˜
G 2 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Lemme. Pour tout O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, les distributions A
˜
G1
λ1 (V, O) et A
˜
G2
λ2 (V, O) se
correspondent par cet isomorphisme.
Preuve. Considérons d’abord la situation du paragraphe précédent dans le cas
particulier où λ 1 = 1. Alors C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (A F )) s’identifie à C
∞
c ( ˜
G(A F )). Pour un
élément f de cet espace et une mesure dg sur G(A F ), on a défini deux termes
J
˜
G1
g´ eom,λ1 (f ⊗ dg) et J
˜
G
g´ eom (f ⊗ dg). Le premier en 2.3 en considérant f comme un
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correspondent par la projection bijective du premier ensemble sur le second. En
effet, pour g 1 ∈ G 1 (F v ), g 1 appartient à K 1,v si et seulement s’il vérifie les deux
conditions suivantes :
– sa projection g dans G(F v ) appartient à K v ;
– pour tout χ ∈ X
∗ (G 1 )
ΓF v (cf. preuve de (13)), on a |χ(g 1 )| Fv = 1.
La deuxième condition étant toujours réalisée pour g 1 unipotent, l’assertion
s’ensuit. Notons f 1 = f 1,V ⊗1 K V
1
, f = f V ⊗1 K V . Alors les restrictions des fonctions
f 1 et f aux éléments unipotents de G 1 (A F ) et G(A F ) s’identifient encore. On voit
alors que, pour tout g 1 ∈ G 1 (A F ), on a l’égalité
k
G1,T
unip (f 1 , g 1 ) = k
G,T
unip (f, g),
où g est la projection de g 1 . On construit J
G1,T
unip (f 1 ), resp. J
G,T
unip (f ), en intégrant
cette fonction sur A G1 G 1 (F )\G 1 (A F ), resp. A G G(F )\G(A F ).
Ces intégrales sont égales, au rapport des mesures près, et ce rapport est bien
sûr mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F )). En prenant ensuite la valeur de ces termes au point
T = T 0 , on obtient (17). Cela achève les preuves de (21) et (19).
VI.2.6 Variante avec caractère central, suite
On continue avec les mêmes données que dans le paragraphe précédent. On se
donne d’autres données
1 → C 2 → G 2 → G → 1, ˜
G 2 → ˜
G
λ 2 vérifiant les mêmes hypothèses, munies de données complémentaires comme
en 1.15. On suppose donné un caractère automorphe λ 12 de G 12 (A F ) tel que la
restriction de λ 12 à C 1 (A F ) × C 2 (A F ) soit λ 1 × λ
−1
2 . Soit V un ensemble fini de
places de F contenant V 12,ram . On a construit en 1.15 une fonction canonique ˜
λ 12,V
sur ˜
G 12 (F V ), dont on déduit un isomorphisme
D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
D g´ eom,λ2 ( ˜
G 2 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
qui se restreint en un isomorphisme
D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
D orb,λ2 ( ˜
G 2 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Lemme. Pour tout O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, les distributions A
˜
G1
λ1 (V, O) et A
˜
G2
λ2 (V, O) se
correspondent par cet isomorphisme.
Preuve. Considérons d’abord la situation du paragraphe précédent dans le cas
particulier où λ 1 = 1. Alors C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (A F )) s’identifie à C
∞
c ( ˜
G(A F )). Pour un
élément f de cet espace et une mesure dg sur G(A F ), on a défini deux termes
J
˜
G1
g´ eom,λ1 (f ⊗ dg) et J
˜
G
g´ eom (f ⊗ dg). Le premier en 2.3 en considérant f comme un