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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On va simplement reformuler cette égalité sous une forme plus générale. On
considère C 1 , G 1 et G comme précédemment, en oubliant ˜
G et ˜
G 1 . On fixe comme
plus haut des compacts qui se correspondent K 1,v et K v pour v ∈ V ram (G 1 ) et
des mesures dg, dc et dg 1 . Soit V un ensemble fini de places contenant V ram (G 1 ).
Notons G 1,unip (F V ) et G unip (F V ) les ensembles d’éléments unipotents de G 1 (F V )
et G(F V ). La projection G 1,unip (F V ) → G unip (F V ) est un isomorphisme. Notons
i V son inverse. Soit f 1,V ∈ C
∞
c (G 1 (F V )) et f V ∈ C
∞
c (G(F V )). On suppose que
f V = f 1,V ◦ i V sur G unip (F V ). Alors on a l’égalité
(20)
mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 I
G1 (A
G1
unip (V ), f 1,V ⊗ dg 1,V )
= I
G (A
G
unip (V ), f V ⊗ dg V ),
où les distributions unipotentes sont relatives aux compacts fixés.
Preuve. Fixons un ensemble U V de représentants des classes de conjugaison par
G(F V ) dans l’ensemble des éléments unipotents de ce groupe. Son image i V (U V )
dans G 1 (F V ) est un ensemble analogue pour G 1 (F V ). Pour tout u ∈ U V , fixons
une mesure sur G u (F V ), dont on déduit une mesure sur G 1,iV (u) (F V ). Le membre
de gauche ci-dessus est combinaison linéaire de termes
G 1,i V (u) (FV )\G1(FV )
f 1,V (x
−1
1 i V (u)x 1 ) dx 1
pour u ∈ U V , où la mesure dx 1 sur le quotient se déduit des mesures sur les deux
groupes, tandis que celui de droite est combinaison linéaire de termes analogues
Gu(FV )\G(FV )
f V (x
−1 ux) dx.
De la définition de f V se déduit que les deux intégrales ci-dessus sont égales. L’assertion (20) revient à dire que les coefficients des deux combinaisons linéaires sont
égaux. On déduit aisément de cela que, pour un Levi M = G, si l’on suppose par
récurrence (20) vrai pour M , cette assertion se généralise aux intégrales orbitales
pondérées, c’est-à-dire que l’on a l’égalité
mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 J
G1
M1 (A
M1
unip (V ), f 1,V ⊗ dg 1,V )
= J
G
M (A
M
unip (V ), f V ⊗ dg V ).
En vertu de 2.2(1), l’égalité (20) résulte par récurrence de l’égalité que l’on prouvera ci-dessous
(21)
mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 J
G1
unip (f 1,V ⊗ dg 1 ) = J
G
unip (f V ⊗ dg).
Soit v ∈ V . Alors 1 K1,v et 1 Kv se correspondent comme f V et f 1,V , c’est-àdire que leurs restrictions aux ensembles d’unipotents G 1,unip (F v ) et G unip (F v ) se
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On va simplement reformuler cette égalité sous une forme plus générale. On
considère C 1 , G 1 et G comme précédemment, en oubliant ˜
G et ˜
G 1 . On fixe comme
plus haut des compacts qui se correspondent K 1,v et K v pour v ∈ V ram (G 1 ) et
des mesures dg, dc et dg 1 . Soit V un ensemble fini de places contenant V ram (G 1 ).
Notons G 1,unip (F V ) et G unip (F V ) les ensembles d’éléments unipotents de G 1 (F V )
et G(F V ). La projection G 1,unip (F V ) → G unip (F V ) est un isomorphisme. Notons
i V son inverse. Soit f 1,V ∈ C
∞
c (G 1 (F V )) et f V ∈ C
∞
c (G(F V )). On suppose que
f V = f 1,V ◦ i V sur G unip (F V ). Alors on a l’égalité
(20)
mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 I
G1 (A
G1
unip (V ), f 1,V ⊗ dg 1,V )
= I
G (A
G
unip (V ), f V ⊗ dg V ),
où les distributions unipotentes sont relatives aux compacts fixés.
Preuve. Fixons un ensemble U V de représentants des classes de conjugaison par
G(F V ) dans l’ensemble des éléments unipotents de ce groupe. Son image i V (U V )
dans G 1 (F V ) est un ensemble analogue pour G 1 (F V ). Pour tout u ∈ U V , fixons
une mesure sur G u (F V ), dont on déduit une mesure sur G 1,iV (u) (F V ). Le membre
de gauche ci-dessus est combinaison linéaire de termes
G 1,i V (u) (FV )\G1(FV )
f 1,V (x
−1
1 i V (u)x 1 ) dx 1
pour u ∈ U V , où la mesure dx 1 sur le quotient se déduit des mesures sur les deux
groupes, tandis que celui de droite est combinaison linéaire de termes analogues
Gu(FV )\G(FV )
f V (x
−1 ux) dx.
De la définition de f V se déduit que les deux intégrales ci-dessus sont égales. L’assertion (20) revient à dire que les coefficients des deux combinaisons linéaires sont
égaux. On déduit aisément de cela que, pour un Levi M = G, si l’on suppose par
récurrence (20) vrai pour M , cette assertion se généralise aux intégrales orbitales
pondérées, c’est-à-dire que l’on a l’égalité
mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 J
G1
M1 (A
M1
unip (V ), f 1,V ⊗ dg 1,V )
= J
G
M (A
M
unip (V ), f V ⊗ dg V ).
En vertu de 2.2(1), l’égalité (20) résulte par récurrence de l’égalité que l’on prouvera ci-dessous
(21)
mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1 J
G1
unip (f 1,V ⊗ dg 1 ) = J
G
unip (f V ⊗ dg).
Soit v ∈ V . Alors 1 K1,v et 1 Kv se correspondent comme f V et f 1,V , c’est-àdire que leurs restrictions aux ensembles d’unipotents G 1,unip (F v ) et G unip (F v ) se