VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
637
la fonction x → f V (y
−1 i V (x) ˙
γ 1 y). Posons
y f V |G ˙
γ
=
y f V |G ˙
γ
⊗ dh V . On définit une
distribution A
˜
G1
λ1 (V, O) ∈ D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ par les formules :
– A
˜
G1
λ1 (V, O) = 0 si O ⊂ ˜
G(F ) ell ;
– si O ⊂ ˜
G(F ) ell ,
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
˜
λ1
(V, O), f V ) = [Z G ( ˙
γ, F ) : G ˙
γ (F )]
−1 λ 1 (ζ)
G ˙
γ (FV )\G(FV )
I
G ˙
γ (A
G ˙
γ
unip (V, K
V
˙
γ ),
y f V |G ˙
γ
) dy
où la mesure dy est déduite des mesures dg V et dh V .
Alors
(18) on a l’égalité A
˜
G1
˜
λ1
(V, O) = A
˜
G1
˜
λ1
(V, O).
Preuve. La formule (14) donne
(19)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
˜
λ1
(V, O), f V ) = m
−1 d
−1 λ 1 (ζ)I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), f V ⊗ dg 1 ).
Rappelons que d est le nombre d’éléments du noyau de l’action de C 1 (F ) sur
Fib
˜
G1 (O). On vérifie que
d = [Z G (γ, F ) : G γ (F )][Z G1 (γ 1 , F ) : G 1,γ1 (F )]
−1 .
On a S(O 1 ) = S(O) par définition. La distribution A
˜
G1 (V, , O 1 , ζ ˜
K
V
1 ) est définie
par la formule (7) de 2.3. En particulier, elle est nulle si O 1 n’est pas elliptique,
ce qui équivaut à ce que O ne le soit pas. Supposons O elliptique. On fixe sur
G 1, ˙
γ1 (F V ) la mesure dh 1,V déduite des mesures dh V sur G ˙
γ (F V ) et dz sur C 1 (A F )
(cette dernière étant identifiée comme toujours à une mesure sur C 1 (F V )). Notons que G 1, ˙
γ1 (F V )\G 1 (F V ) = G ˙
γ (F V )\G(F V ) et que la mesure sur ce quotient
déduite de dg 1,V et dh 1,V coïncide avec celle déduite de dg V et dh V . Notons aussi
que le terme [Z G1 ( ˙
γ 1 , F ) : G 1, ˙
γ1 (F )] intervenant dans d va compenser le facteur
intervenant dans 2.3(7). La conjonction de la formule (19) ci-dessus et de 2.3(7)
donne
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
˜
λ1
(V, O), f V ) = m
−1 [Z G ( ˙
γ, F ) : G ˙
γ (F )]
−1 λ 1 (ζ)
G ˙
γ (FV )\G(FV )
I
G1, ˙
γ 1 (A
G1, ˙
γ 1
unip (V, K
V
˙
γ1 ),
y f V |G1, ˙
γ 1
⊗ dh 1,V ) dy.
Pour démontrer (18), il suffit de prouver que, pour tout y, on a l’égalité
m
−1 I
G1,γ 1 (A
G1, ˙
γ 1
unip (V, K
V
˙
γ1 ),
y f V |G1, ˙
γ 1
⊗dh 1,V ) = I
G ˙
γ (A
G ˙
γ
unip (V, K
V
˙
γ ),
y f V |Gγ ⊗dh V ).
Remarquons que la fonction
y f V |Gγ coïncide dans U V avec
y f V |G1,γ 1 ◦i V . L’égalité
à prouver résulte alors de (17) ci-dessous.
637
la fonction x → f V (y
−1 i V (x) ˙
γ 1 y). Posons
y f V |G ˙
γ
=
y f V |G ˙
γ
⊗ dh V . On définit une
distribution A
˜
G1
λ1 (V, O) ∈ D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ par les formules :
– A
˜
G1
λ1 (V, O) = 0 si O ⊂ ˜
G(F ) ell ;
– si O ⊂ ˜
G(F ) ell ,
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
˜
λ1
(V, O), f V ) = [Z G ( ˙
γ, F ) : G ˙
γ (F )]
−1 λ 1 (ζ)
G ˙
γ (FV )\G(FV )
I
G ˙
γ (A
G ˙
γ
unip (V, K
V
˙
γ ),
y f V |G ˙
γ
) dy
où la mesure dy est déduite des mesures dg V et dh V .
Alors
(18) on a l’égalité A
˜
G1
˜
λ1
(V, O) = A
˜
G1
˜
λ1
(V, O).
Preuve. La formule (14) donne
(19)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
˜
λ1
(V, O), f V ) = m
−1 d
−1 λ 1 (ζ)I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), f V ⊗ dg 1 ).
Rappelons que d est le nombre d’éléments du noyau de l’action de C 1 (F ) sur
Fib
˜
G1 (O). On vérifie que
d = [Z G (γ, F ) : G γ (F )][Z G1 (γ 1 , F ) : G 1,γ1 (F )]
−1 .
On a S(O 1 ) = S(O) par définition. La distribution A
˜
G1 (V, , O 1 , ζ ˜
K
V
1 ) est définie
par la formule (7) de 2.3. En particulier, elle est nulle si O 1 n’est pas elliptique,
ce qui équivaut à ce que O ne le soit pas. Supposons O elliptique. On fixe sur
G 1, ˙
γ1 (F V ) la mesure dh 1,V déduite des mesures dh V sur G ˙
γ (F V ) et dz sur C 1 (A F )
(cette dernière étant identifiée comme toujours à une mesure sur C 1 (F V )). Notons que G 1, ˙
γ1 (F V )\G 1 (F V ) = G ˙
γ (F V )\G(F V ) et que la mesure sur ce quotient
déduite de dg 1,V et dh 1,V coïncide avec celle déduite de dg V et dh V . Notons aussi
que le terme [Z G1 ( ˙
γ 1 , F ) : G 1, ˙
γ1 (F )] intervenant dans d va compenser le facteur
intervenant dans 2.3(7). La conjonction de la formule (19) ci-dessus et de 2.3(7)
donne
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
˜
λ1
(V, O), f V ) = m
−1 [Z G ( ˙
γ, F ) : G ˙
γ (F )]
−1 λ 1 (ζ)
G ˙
γ (FV )\G(FV )
I
G1, ˙
γ 1 (A
G1, ˙
γ 1
unip (V, K
V
˙
γ1 ),
y f V |G1, ˙
γ 1
⊗ dh 1,V ) dy.
Pour démontrer (18), il suffit de prouver que, pour tout y, on a l’égalité
m
−1 I
G1,γ 1 (A
G1, ˙
γ 1
unip (V, K
V
˙
γ1 ),
y f V |G1, ˙
γ 1
⊗dh 1,V ) = I
G ˙
γ (A
G ˙
γ
unip (V, K
V
˙
γ ),
y f V |Gγ ⊗dh V ).
Remarquons que la fonction
y f V |Gγ coïncide dans U V avec
y f V |G1,γ 1 ◦i V . L’égalité
à prouver résulte alors de (17) ci-dessous.