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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Si S est un ensemble fini de places contenant V , on a une formule analogue
à 2.2(7). Plus précisément, pour ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et O ˜
M ∈ ˜
M ss (F )/ conj tel que
O ˜
M ⊂ O, on peut écrire
A
˜
M1
λ1 (S, O ˜
M ) =
i=1,...,n(O ˜
M )
k
˜
M1
λ1,i (O ˜
M )
V
S ⊗ A
˜
M1
λ1,i (O ˜
M ) V ,
où, cette fois, k
˜
M1
λ1,i (O ˜
M )
V
S ∈ D g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F
V
S ))⊗Mes(M (F
V
S ))
∗ et A
˜
M1
λ1,i (O ˜
M ) V ∈
D orb,λ1 ( ˜
M 1 (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ . On note A
˜
G1
λ1,i (O ˜
M ) V la distribution induite à
˜
G 1 (F V ). On se rappelle la forme linéaire r
˜
G
˜
M,λ1
(., ˜
K
V
1,S ) sur D g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F
V
S )) ⊗
Mes(M (F
V
V ))
∗ de 1.15. On a alors l’égalité
A
˜
G1
λ1 (V, O) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
i=1,...,n(O ˜
M )
r
˜
G
˜
M,λ1
(k
˜
M1
λ1,i (O ˜
M )
V
S , ˜
K
V
1,S )A
˜
G1
λ1,i (O ˜
M ) V .
Il est utile d’obtenir une expression plus explicite pour la distribution
A
˜
G1
˜
λ1
(V, O) dans le cas où V contient S(O), ce que l’on suppose dans ce qui suit.
On suppose aussi que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F V )
engendrée par O coupe ˜
K v (sinon, A
˜
G1
˜
λ1
(V, O) est assez explicite d’après (6)).
Fixons ˙
γ ∈ O, fixons une classe O 1 ∈ ˜
G 1 (F ) d’image O et ˙
γ 1 ∈ O 1 d’image
γ. On fixe ζ ∈ C 1 (A
V
F ) tel que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par
G 1 (F v ) engendrée par O 1 coupe ζ v ˜
K 1,v . On construit comme en 2.3 un élément
x
V
∈ G(A
V
F ) tel que (x
V )
−1 ˙
γx
V
∈ ˜
K
V et on définit le groupe compact hyperspécial K
V
˙
γ = x
V K
V (x
V )
−1
∩ G ˙
γ (A
V
F ) de G ˙
γ (A
V
F ). Il s’en déduit un groupe hyperspécial K
V
˙
γ1 de G 1, ˙
γ1 (A
V
F ), qui n’est autre que x
V K
V
1 (x
V )
−1
∩ G 1, ˙
γ1 (A
V
F ). La
distribution A
G ˙
γ (V, K
V
˙
γ ) est bien définie. Considérons la suite exacte
0 → c 1 (F V ) → g 1, ˙
γ1 (F V ) → g ˙
γ (F V ) → 0.
On peut la scinder : le scindage est canonique au-dessus de la partie semi-simple
de g ˙
γ (F V ), il suffit de la scinder au-dessus du centre de cette algèbre. Notons
ι V : g ˙
γ (F V ) → g 1, ˙
γ1 (F V ) un tel scindage, qui est un homomorphisme d’algèbres
de Lie. Soit U V un voisinage invariant de l’unité dans G ˙
γ (F V ), assez petit pour que
l’exponentielle y soit définie. On définit un plongement i V : U V → G 1, ˙
γ1 (F V ) de
la façon suivante : pour x ∈ U V , on écrit x = exp(X) avec X ∈ g ˙
γ (F V ) et on pose
i V (x) = exp(ι V (X)). Ce plongement est équivariant pour l’action par conjugaison
de G ˙
γ (F V ). Il est canonique sur l’intersection de U V avec la partie semi-simple
de G ˙
γ (F V ), a fortiori sur les éléments unipotents. On fixe des mesures dg V sur
G(F V ) et dh V sur G ˙
γ (F V ). Soit f V ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )), posons f V = f V ⊗ dg V . Pour
y ∈ G(F V ), notons
y f V |G ˙
γ
un élément de C
∞
c (G ˙
γ (F V )) qui coîncide sur U V avec
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Si S est un ensemble fini de places contenant V , on a une formule analogue
à 2.2(7). Plus précisément, pour ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et O ˜
M ∈ ˜
M ss (F )/ conj tel que
O ˜
M ⊂ O, on peut écrire
A
˜
M1
λ1 (S, O ˜
M ) =
i=1,...,n(O ˜
M )
k
˜
M1
λ1,i (O ˜
M )
V
S ⊗ A
˜
M1
λ1,i (O ˜
M ) V ,
où, cette fois, k
˜
M1
λ1,i (O ˜
M )
V
S ∈ D g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F
V
S ))⊗Mes(M (F
V
S ))
∗ et A
˜
M1
λ1,i (O ˜
M ) V ∈
D orb,λ1 ( ˜
M 1 (F V )) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ . On note A
˜
G1
λ1,i (O ˜
M ) V la distribution induite à
˜
G 1 (F V ). On se rappelle la forme linéaire r
˜
G
˜
M,λ1
(., ˜
K
V
1,S ) sur D g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F
V
S )) ⊗
Mes(M (F
V
V ))
∗ de 1.15. On a alors l’égalité
A
˜
G1
λ1 (V, O) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
i=1,...,n(O ˜
M )
r
˜
G
˜
M,λ1
(k
˜
M1
λ1,i (O ˜
M )
V
S , ˜
K
V
1,S )A
˜
G1
λ1,i (O ˜
M ) V .
Il est utile d’obtenir une expression plus explicite pour la distribution
A
˜
G1
˜
λ1
(V, O) dans le cas où V contient S(O), ce que l’on suppose dans ce qui suit.
On suppose aussi que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F V )
engendrée par O coupe ˜
K v (sinon, A
˜
G1
˜
λ1
(V, O) est assez explicite d’après (6)).
Fixons ˙
γ ∈ O, fixons une classe O 1 ∈ ˜
G 1 (F ) d’image O et ˙
γ 1 ∈ O 1 d’image
γ. On fixe ζ ∈ C 1 (A
V
F ) tel que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par
G 1 (F v ) engendrée par O 1 coupe ζ v ˜
K 1,v . On construit comme en 2.3 un élément
x
V
∈ G(A
V
F ) tel que (x
V )
−1 ˙
γx
V
∈ ˜
K
V et on définit le groupe compact hyperspécial K
V
˙
γ = x
V K
V (x
V )
−1
∩ G ˙
γ (A
V
F ) de G ˙
γ (A
V
F ). Il s’en déduit un groupe hyperspécial K
V
˙
γ1 de G 1, ˙
γ1 (A
V
F ), qui n’est autre que x
V K
V
1 (x
V )
−1
∩ G 1, ˙
γ1 (A
V
F ). La
distribution A
G ˙
γ (V, K
V
˙
γ ) est bien définie. Considérons la suite exacte
0 → c 1 (F V ) → g 1, ˙
γ1 (F V ) → g ˙
γ (F V ) → 0.
On peut la scinder : le scindage est canonique au-dessus de la partie semi-simple
de g ˙
γ (F V ), il suffit de la scinder au-dessus du centre de cette algèbre. Notons
ι V : g ˙
γ (F V ) → g 1, ˙
γ1 (F V ) un tel scindage, qui est un homomorphisme d’algèbres
de Lie. Soit U V un voisinage invariant de l’unité dans G ˙
γ (F V ), assez petit pour que
l’exponentielle y soit définie. On définit un plongement i V : U V → G 1, ˙
γ1 (F V ) de
la façon suivante : pour x ∈ U V , on écrit x = exp(X) avec X ∈ g ˙
γ (F V ) et on pose
i V (x) = exp(ι V (X)). Ce plongement est équivariant pour l’action par conjugaison
de G ˙
γ (F V ). Il est canonique sur l’intersection de U V avec la partie semi-simple
de G ˙
γ (F V ), a fortiori sur les éléments unipotents. On fixe des mesures dg V sur
G(F V ) et dh V sur G ˙
γ (F V ). Soit f V ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )), posons f V = f V ⊗ dg V . Pour
y ∈ G(F V ), notons
y f V |G ˙
γ
un élément de C
∞
c (G ˙
γ (F V )) qui coîncide sur U V avec