VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
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Elle vérifie la propriété (5). La propriété (6) résulte de (10). Il reste à vérifier (4).
On conserve les termes f V , f V et φ V ci-dessus. On complète f V en f = f V ⊗1 ˜
K V
1 ,λ1
et φ V en φ = φ V ⊗ 1 ˜
K V
1
. On a alors
f =
C1(AF )
φ
c λ 1 (c) dc
et l’égalité (3). Pour c ∈ C 1 (A F ) et O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O), on peut développer J
˜
G1
O1 (φ
c
⊗
dg 1 ) selon l’égalité de la proposition 2.3(i) relative à l’espace hyperspécial c
V ˜
K
V
1 .
On obtient
J
˜
G1
O,λ1 (f V ) = m
−1
C1(F )\C1(AF )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
M∈L(M0)
|W
M
||W
G
|
−1
O ˜
M,1 ∈ ˜
M1,ss(F )/ conj,O ˜
M,1 ⊂O1
J
˜
G1
˜
M1
(A
˜
M1 (V, O ˜
M,1 , c
V ˜
K
˜
M1,V
1
), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc,
où m = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F )). Pour un Levi M fixé, sommer en O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O)
puis en O ˜
M,1 ∈ ˜
M 1,ss (F )/ conj, O ˜
M,1 ⊂ O 1 revient à sommer en
O ˜
M ∈ ˜
M ss (F )/ conj, O ˜
M ⊂ O, puis en O ˜
M,1 ∈ Fib
˜
M1 (O ˜
M ).
On obtient
(16)
J
˜
G1
O,λ1 (f V ) = m
−1
C1(F )\C1(AF )
M∈L(M0)
|W
M
||W
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,
O ˜
M ⊂O
O ˜
M ,1 ∈Fib
˜
M 1 (O ˜
M )
J
˜
G1
˜
M1
(A
˜
M1 (V, O ˜
M,1 , c
V ˜
K
˜
M1,V
1
), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
Fixons M ∈ L(M 0 ) et O ˜
M ∈ ˜
M ss (F )/ conj. Il n’est pas difficile de voir en dévissant
les définitions que la définition (15) pour la distribution A
˜
M
λ1 (V, O ˜
M ) s’étend aux
intégrales orbitales pondérées. C’est-à-dire que l’on a
J
˜
G1
˜
M1,λ1
(A
˜
M
λ1 (V, O ˜
M ), f V ⊗ dg) = m
−1
C1(F )\C1(AF )
O ˜
M,1 ∈Fib
˜
M 1 (O ˜
M )
J
˜
G1
˜
M1
(A
˜
M1 (V, O ˜
M,1 , c
V ˜
K
˜
M1,V
1
), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
Alors, la relation (16) devient (5).
Avec ces définitions, on obtient la formule
(17)
J
˜
G1
g´ eom,λ1 (f V )
=
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj
J
˜
G1
˜
M1,λ1
(A
˜
M1
λ1 (V, O ˜
M ), f V ).