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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
analogue pour c
. Il existe ξ ∈ C 1 (F ) tel que ξO
1 = O 1 . Alors O 1 vérifie (9) pour
c comme pour ξc
. L’assertion (13) entraîne que c
V
∈ (ξc
)
V K
V
C1 . Cela entraîne
que c ∈ c
C 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ). D’où (11).
Le même calcul prouve (12) : pour c = c
, la condition finale devient ξ
V
∈
K
V
C1 , c’est-à-dire ξ ∈ Ξ.
Fixons un représentant ζ de la classe définie par (11), que l’on peut choisir
dans C 1 (A
V
F ). Dans la formule (8), on peut remplacer l’intégrale sur C 1 (F )\C 1 (A F )
par une intégrale sur C 1 (F )\ζC 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ). La fonction que l’on intègre est
invariante par K
V
C1 . Cela permet, modulo translation par ζ, de remplacer cette
dernière intégrale par une intégrale sur Ξ V \C 1 (F V ), où Ξ V est la projection de Ξ
dans C 1 (F V ). L’intégrale (8) est donc égale à
ΞV \C1(FV )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V .
D’après (12), l’ensemble des O 1 qui contribuent à cette formule est une unique
classe sous Ξ. Fixons un élément O 1 de cette classe. L’action de Ξ n’est pas libre
en général, il y a un noyau fini. Notons d le nombre d’éléments de ce noyau. Alors
la formule précédente devient
d
−1
ΞV \C1(FV )
ξ∈Ξ
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, ξO 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V .
En utilisant (7), on obtient
d
−1
ΞV \C1(FV )
ξ∈ΞV
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
ξcV
V
⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V .
On a aussi λ 1 (ξ) = 1 pour tout ξ ∈ Ξ V et l’égalité précédente se récrit
(14)
d
−1
C1(FV )
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V
= d
−1 λ 1 (ζ)I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), f V ⊗ dg 1 ),
où, dans cette dernière égalité, A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ) désigne l’image de cette distribution dans D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G 1 (F V ))
∗ . Cela démontre que l’intégrale (8)
a les propriétés voulues. Par ailleurs, on voit aisément qu’en multipliant cette intégrale par mes(A C1 C 1 (F )\Z(A F ))
−1 , elle ne dépend que de la mesure sur G(F V )
et pas de celle sur C 1 (A F ). On peut donc définir une distribution A
˜
G
λ1 (V, O) ∈
D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ par l’égalité
(15)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G
λ1 (V, O), f V ) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
analogue pour c
. Il existe ξ ∈ C 1 (F ) tel que ξO
1 = O 1 . Alors O 1 vérifie (9) pour
c comme pour ξc
. L’assertion (13) entraîne que c
V
∈ (ξc
)
V K
V
C1 . Cela entraîne
que c ∈ c
C 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ). D’où (11).
Le même calcul prouve (12) : pour c = c
, la condition finale devient ξ
V
∈
K
V
C1 , c’est-à-dire ξ ∈ Ξ.
Fixons un représentant ζ de la classe définie par (11), que l’on peut choisir
dans C 1 (A
V
F ). Dans la formule (8), on peut remplacer l’intégrale sur C 1 (F )\C 1 (A F )
par une intégrale sur C 1 (F )\ζC 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ). La fonction que l’on intègre est
invariante par K
V
C1 . Cela permet, modulo translation par ζ, de remplacer cette
dernière intégrale par une intégrale sur Ξ V \C 1 (F V ), où Ξ V est la projection de Ξ
dans C 1 (F V ). L’intégrale (8) est donc égale à
ΞV \C1(FV )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V .
D’après (12), l’ensemble des O 1 qui contribuent à cette formule est une unique
classe sous Ξ. Fixons un élément O 1 de cette classe. L’action de Ξ n’est pas libre
en général, il y a un noyau fini. Notons d le nombre d’éléments de ce noyau. Alors
la formule précédente devient
d
−1
ΞV \C1(FV )
ξ∈Ξ
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, ξO 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V .
En utilisant (7), on obtient
d
−1
ΞV \C1(FV )
ξ∈ΞV
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
ξcV
V
⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V .
On a aussi λ 1 (ξ) = 1 pour tout ξ ∈ Ξ V et l’égalité précédente se récrit
(14)
d
−1
C1(FV )
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (ζc V ) dc V
= d
−1 λ 1 (ζ)I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ), f V ⊗ dg 1 ),
où, dans cette dernière égalité, A
˜
G1 (V, O 1 , ζ ˜
K
V
1 ) désigne l’image de cette distribution dans D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G 1 (F V ))
∗ . Cela démontre que l’intégrale (8)
a les propriétés voulues. Par ailleurs, on voit aisément qu’en multipliant cette intégrale par mes(A C1 C 1 (F )\Z(A F ))
−1 , elle ne dépend que de la mesure sur G(F V )
et pas de celle sur C 1 (A F ). On peut donc définir une distribution A
˜
G
λ1 (V, O) ∈
D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ par l’égalité
(15)
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G
λ1 (V, O), f V ) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.