VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
633
Tout d’abord une distribution A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ) n’est non nulle que si la condition
suivante est vérifiée :
(9) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G 1 (F v ) engendrée par O 1 coupe
c v ˜
K 1,v .
Par projection dans ˜
G(F v ) cela entraîne que la classe de conjugaison par
G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v . On obtient
(10) l’expression (8) est nulle s’il existe v ∈ V telle que la classe de conjugaison
par G(F v ) engendrée par O ne coupe pas ˜
K v .
Supposons que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v . Posons Ξ = C 1 (F ) ∩ (K
V
C1 C 1 (F V )). On va montrer
(11) l’ensemble des c ∈ C 1 (A F ) tels qu’il existe O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O) vérifiant (9) est
une unique classe modulo C 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ) ;
(12) pour c dans cette classe, l’ensemble des O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O) vérifiant (9) est une
unique classe sous l’action de Ξ par multiplication.
On démontre d’abord
(13) soient v ∈ V ram ( ˜
G 1 ), γ 1 ∈ ˜
K 1,v et ξ ∈ C 1 (F v ) ; alors ξγ 1 est conjugué à un
élément de ˜
K 1,v si et seulement si ξ ∈ K C1,v .
Preuve de (13). L’assertion «si» est évidente. Dans l’autre sens, soient γ 2 ∈
˜
K 1,v et g ∈ G 1 (F v ), supposons ξγ 1 = g
−1 γ 2 g. Ecrivons γ 2 = kγ 1 , avec k ∈ K 1,v ,
et posons θ = ad γ1 . Alors ξ = g
−1 kθ(g). Notons X
∗ (G 1 ) et X
∗ (C 1 ) les groupes
des caractères algébriques de G 1 et C 1 . Pour χ ∈ X
∗ (G 1 )
ΓF v , le caractère continu
x → |χ(x)| Fv de G 1 (F v ) est trivial sur K 1,v puisque ce groupe est compact. Il
est invariant par G AD (F v ) parce que χ l’est. La torsion étant intérieure, θ est
l’automorphisme associé à un élément de ce groupe G AD (F v ). Donc le caractère
précédent est invariant par θ. On en déduit qu’il vaut 1 sur ξ. On sait que l’application de restriction
X
∗ (G 1 )
ΓF v → X
∗ (C 1 )
ΓF v
a un conoyau fini. Puisque les caractères précédents sont à valeurs dans R >0 , on
en déduit que |χ(ξ)| Fv = 1 pour tout χ ∈ X
∗ (C 1 )
ΓF v . Cette relation entraîne que
que ξ appartient au sous-groupe compact maximal de C 1 (F v ), qui n’est autre que
K C1,v . Cela prouve (13).
Démontrons (11). Il est clair que l’ensemble des c en question est invariant
par C 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ). Il est non vide. En effet, fixons une classe O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O).
L’hypothèse sur O implique que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par
G 1 (F v ) engendrée par O 1 coupe l’image réciproque de ˜
K v dans ˜
G 1 (F v ), c’est-à-dire
C 1 (F v ) ˜
K 1,v . On peut donc choisir c v ∈ C 1 (F v ) tel que cette classe coupe c v ˜
K 1,v .
Il est clair que l’on peut choisir c v = 1 pour presque tout v. Les c v se regroupent
alors en un élément c ∈ C 1 (A F ) qui vérifie la condition requise. Soient maintenant
c, c
dans l’ensemble en question. On choisit O 1 vérifiant (9) et O
1 vérifiant son
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Tout d’abord une distribution A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ) n’est non nulle que si la condition
suivante est vérifiée :
(9) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G 1 (F v ) engendrée par O 1 coupe
c v ˜
K 1,v .
Par projection dans ˜
G(F v ) cela entraîne que la classe de conjugaison par
G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v . On obtient
(10) l’expression (8) est nulle s’il existe v ∈ V telle que la classe de conjugaison
par G(F v ) engendrée par O ne coupe pas ˜
K v .
Supposons que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v . Posons Ξ = C 1 (F ) ∩ (K
V
C1 C 1 (F V )). On va montrer
(11) l’ensemble des c ∈ C 1 (A F ) tels qu’il existe O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O) vérifiant (9) est
une unique classe modulo C 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ) ;
(12) pour c dans cette classe, l’ensemble des O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O) vérifiant (9) est une
unique classe sous l’action de Ξ par multiplication.
On démontre d’abord
(13) soient v ∈ V ram ( ˜
G 1 ), γ 1 ∈ ˜
K 1,v et ξ ∈ C 1 (F v ) ; alors ξγ 1 est conjugué à un
élément de ˜
K 1,v si et seulement si ξ ∈ K C1,v .
Preuve de (13). L’assertion «si» est évidente. Dans l’autre sens, soient γ 2 ∈
˜
K 1,v et g ∈ G 1 (F v ), supposons ξγ 1 = g
−1 γ 2 g. Ecrivons γ 2 = kγ 1 , avec k ∈ K 1,v ,
et posons θ = ad γ1 . Alors ξ = g
−1 kθ(g). Notons X
∗ (G 1 ) et X
∗ (C 1 ) les groupes
des caractères algébriques de G 1 et C 1 . Pour χ ∈ X
∗ (G 1 )
ΓF v , le caractère continu
x → |χ(x)| Fv de G 1 (F v ) est trivial sur K 1,v puisque ce groupe est compact. Il
est invariant par G AD (F v ) parce que χ l’est. La torsion étant intérieure, θ est
l’automorphisme associé à un élément de ce groupe G AD (F v ). Donc le caractère
précédent est invariant par θ. On en déduit qu’il vaut 1 sur ξ. On sait que l’application de restriction
X
∗ (G 1 )
ΓF v → X
∗ (C 1 )
ΓF v
a un conoyau fini. Puisque les caractères précédents sont à valeurs dans R >0 , on
en déduit que |χ(ξ)| Fv = 1 pour tout χ ∈ X
∗ (C 1 )
ΓF v . Cette relation entraîne que
que ξ appartient au sous-groupe compact maximal de C 1 (F v ), qui n’est autre que
K C1,v . Cela prouve (13).
Démontrons (11). Il est clair que l’ensemble des c en question est invariant
par C 1 (F )K
V
C1 C 1 (F V ). Il est non vide. En effet, fixons une classe O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O).
L’hypothèse sur O implique que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par
G 1 (F v ) engendrée par O 1 coupe l’image réciproque de ˜
K v dans ˜
G 1 (F v ), c’est-à-dire
C 1 (F v ) ˜
K 1,v . On peut donc choisir c v ∈ C 1 (F v ) tel que cette classe coupe c v ˜
K 1,v .
Il est clair que l’on peut choisir c v = 1 pour presque tout v. Les c v se regroupent
alors en un élément c ∈ C 1 (A F ) qui vérifie la condition requise. Soient maintenant
c, c
dans l’ensemble en question. On choisit O 1 vérifiant (9) et O
1 vérifiant son