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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
où γ 1 ∈ ˜
G 1 (F ) se projette en un élément de ˜
G(F ) dont la partie semi-simple
appartient à O ;
(6) A
˜
G1
λ1 (V, O) = 0 sauf si, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v )
engendrée par O coupe ˜
K v .
Comme en 2.2, la propriété (4) caractérise A
˜
G1
λ1 (V, O). Signalons que cette
distribution dépend de ˜
K
V
1 .
Soit f V ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V )), que l’on écrit f V = f V ⊗ dg. On fixe
φ V ∈ C
∞
c ( ˜
G 1 (F V )) de sorte que
f V =
C1(FV )
φ
c
V dc.
On se rappelle que les distributions A
˜
G1 (V, O 1 ) dépendent du choix de ˜
K
V
1 . Notons-les A
˜
G1 (V, O 1 , ˜
K
V
1 ). Soit c ∈ C 1 (A F ), que l’on décompose en c = c V c
V .
Considérons le terme
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )
pour O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O). Soit Γ un sous-ensemble compact de C 1 (A F ). Le lemme
2.1(ii) entraîne qu’il existe un sous-ensemble fini Δ de Fib
˜
G1 (O) tel que, pour
tout O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O) − Δ et tout c ∈ A C1 Γ, le terme ci-dessus soit nul. Le (i) du
même lemme montre que, pour O 1 ∈ Δ, ce terme est une fonction de c à support
compact dans A C1 Γ. C’est aussi une fonction lisse de c. Les mêmes propriétés
valent donc pour la somme
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 ).
Comme fonction de c, celle-ci est invariante par C 1 (F ). En effet, on voit facilement
que, pour ξ ∈ C 1 (F ) et O 1 ∈ Fib
˜
G1 (O), on a l’égalité
(7)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, ξO 1 , ξ
V c
V ˜
K
V
1 ), φ
ξV cV
V
⊗ dg 1 )
= I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 ).
L’invariance requise en résulte. En se rappelant que l’on peut choisir Γ de sorte
que C 1 (A F ) = C 1 (F )A C1 Γ, on voit que l’intégrale
(8)
C1(F )\C1(AF )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
I
˜
G1 (A
˜
G1 (V, O 1 , c
V ˜
K
V
1 ), φ
cV
V ⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc
est convergente. On va montrer qu’elle ne dépend pas du choix de φ V et définit
donc une forme linéaire en f V qui appartient à D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .