VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
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où φ
c (γ 1 ) = φ(cγ 1 ). On pose
(1)
J
˜
G1
g´ eom,λ1 (f ⊗ dg)
= mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
J
˜
G1
g´ eom (φ
c
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc.
On vérifie en effet, d’une part que la fonction à intégrer est invariante par C 1 (F )
et à support compact modulo ce groupe, d’autre part que l’expression ci-dessus
ne dépend que de f et dg et pas des choix de φ et de la mesure dc. De même, elle
ne dépend que de la mesure sur A ˜
G et pas de celle sur A C1 . Ces vérifications se
font en exprimant comme en 2.1 les diverses expressions comme les valeurs en T 0
d’un polynôme asymptote à des expressions qui, elles, vérifient évidemment ces
propriétés. Remarquons qu’il y a une surjection naturelle
(2)
˜
G 1,ss (F )/ conj → ˜
G ss (F )/ conj .
Pour O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, on pose
(3)
J
˜
G1
O,λ1 (f ⊗ dg) = mes(A C1 C 1 (F )\C 1 (A F ))
−1
C1(F )\C1(AF )
O1∈Fib
˜
G 1 (O)
J
˜
G1
O1 (φ
c
⊗ dg 1 )λ 1 (c) dc,
où Fib
˜
G1 (O) est la fibre de l’application (2) au-dessus de O. De nouveau, ce terme
ne dépend que de f et dg et pas du choix de φ ni de la mesure dc.
Pour un ensemble fini V de places contenant V 1,ram , on peut encore identifier
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V )) à un sous-espace de C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (A F )) ⊗ Mes(G(A F )).
Ainsi, J
˜
G1
g´ eom,λ1 (f V ) est défini pour f V ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V )). De même,
J
˜
G1
O,λ1 (f V ) est défini. Pour O ∈ ˜
G ss (F )/ conj, on va définir une distribution
A
˜
G1
λ1 (V, O) ∈ D orb,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
qui vérifie les propriétés suivantes :
(4) pour f V ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F V )) ⊗ Mes(G(F V )),
I
˜
G1
λ1 (A
˜
G1
λ1 (V, O), f V ) = J
˜
G1
O,λ1 (f V ) −
M∈L(M0),M =G
|W
M
||W
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
J
˜
G1
˜
M1,λ1
(A
˜
M
λ1 (V, O ˜
M ), f V );
(5) A
˜
G1
λ1 (V, O) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des éléments γ 1 (ou plus exactement aux projections dans ˜
G 1 (F V ) de tels éléments),