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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.2.4 Développement de la partie géométrique de la formule
des traces non invariante
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F ) ⊗ Mes(G(A F )). Si V est un ensemble fini de places assez
grand, on peut écrire f = f V ⊗ 1 ˜
K V , où f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )) et 1 ˜
K V
est tacitement tensorisé avec la mesure canonique sur G(A
V
F ). En vertu de 2.1(3)
et de la proposition 2.3(i), on a l’égalité
(1) J
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O∈ ˜
Mss(F )/ conj
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O, ω), f V ).
Le lemme 2.1 et sa preuve montrent que cette somme est finie indépendamment
de V . Cette finitude et les définitions entraînent que, pour f fixé, il existe un
ensemble S(f ) tel que, pour V ⊃ S(f ), les seuls couples ( ˜
M , O) qui contribuent
à la formule vérifient S(O) ⊂ V et O ⊂ ˜
M (F ) ell . Notons que l’ensemble fini des
indices contribuant à la formule (1) ainsi que l’ensemble S(f ) peuvent être choisis
indépendants de f si on se limite à des fonctions dont le support est contenu dans
un compact fixé.
VI.2.5 Variante avec caractère central
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnée une
extension
1 → C 1 → G 1 → G → 1,
une extension compatible ˜
G 1 → ˜
G, où ˜
G 1 est à torsion intérieure, et un caractère
automorphe λ 1 de C 1 (A F ). On introduit des données complémentaires comme en
1.15. On a une suite exacte
0 → A C1 → A G1 → A G → 0.
On suppose des mesures choisies sur ces espaces de façon compatible à cette suite.
On fait de même quand on remplace ˜
G par un espace de Levi ˜
M . Notons que cette
hypothèse ne serait pas vérifiée si on normalisait les mesures «à la Tamagawa»,
cf. 1.3.
Fixons des mesures dg sur G(A F ) et dc sur C 1 (A F ). On en déduit une mesure
dg 1 sur G 1 (A F ) compatible à la suite exacte
1 → C 1 (A F ) → G 1 (A F ) → G(A F ) → 1.
Soit f ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (A F )). On peut fixer une fonction φ ∈ C
∞
c ( ˜
G 1 (A F )) telle que
f (γ 1 ) =
C1(AF )
φ
c (γ 1 )λ 1 (c) dc,
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.2.4 Développement de la partie géométrique de la formule
des traces non invariante
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F ) ⊗ Mes(G(A F )). Si V est un ensemble fini de places assez
grand, on peut écrire f = f V ⊗ 1 ˜
K V , où f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )) et 1 ˜
K V
est tacitement tensorisé avec la mesure canonique sur G(A
V
F ). En vertu de 2.1(3)
et de la proposition 2.3(i), on a l’égalité
(1) J
˜
G
g´ eom (f , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O∈ ˜
Mss(F )/ conj
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O, ω), f V ).
Le lemme 2.1 et sa preuve montrent que cette somme est finie indépendamment
de V . Cette finitude et les définitions entraînent que, pour f fixé, il existe un
ensemble S(f ) tel que, pour V ⊃ S(f ), les seuls couples ( ˜
M , O) qui contribuent
à la formule vérifient S(O) ⊂ V et O ⊂ ˜
M (F ) ell . Notons que l’ensemble fini des
indices contribuant à la formule (1) ainsi que l’ensemble S(f ) peuvent être choisis
indépendants de f si on se limite à des fonctions dont le support est contenu dans
un compact fixé.
VI.2.5 Variante avec caractère central
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donnée une
extension
1 → C 1 → G 1 → G → 1,
une extension compatible ˜
G 1 → ˜
G, où ˜
G 1 est à torsion intérieure, et un caractère
automorphe λ 1 de C 1 (A F ). On introduit des données complémentaires comme en
1.15. On a une suite exacte
0 → A C1 → A G1 → A G → 0.
On suppose des mesures choisies sur ces espaces de façon compatible à cette suite.
On fait de même quand on remplace ˜
G par un espace de Levi ˜
M . Notons que cette
hypothèse ne serait pas vérifiée si on normalisait les mesures «à la Tamagawa»,
cf. 1.3.
Fixons des mesures dg sur G(A F ) et dc sur C 1 (A F ). On en déduit une mesure
dg 1 sur G 1 (A F ) compatible à la suite exacte
1 → C 1 (A F ) → G 1 (A F ) → G(A F ) → 1.
Soit f ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (A F )). On peut fixer une fonction φ ∈ C
∞
c ( ˜
G 1 (A F )) telle que
f (γ 1 ) =
C1(AF )
φ
c (γ 1 )λ 1 (c) dc,