VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
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la mesure canonique sur G(F
V
S ). On connaît le développement (i) pour S :
(11)
J O (f S , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (S, O ˜
M , ω), f S ).
Notons que J O (f S , ω) = J O (f V , ω) par définition. Soient ˜
M et O ˜
M intervenant
ci-dessus. Pour tout espace ˜
Q = ˜
LU Q ∈ F( ˜
M ), la fonction (1 ˜
K V
S
) ˜
Q,ω est égale
à 1 ˜
K
˜
L,V
S
. Elle ne dépend donc que de ˜
L. En utilisant (8), la relation 1.9(2) et la
définition de r
˜
G
˜
M
(., ˜
K
V
S ), on obtient l’égalité
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (S, O ˜
M , ω), f S )
=
i=1,...,n(O ˜
M )
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )J
˜
G
˜
L
(A
˜
L
i (O ˜
M , ω) V , f V ).
La formule (11) se récrit
(12)
J O (f V , ω) =
˜
L∈L( ˜
M0)
|W
˜
L
||W
˜
G
|
−1
˜
M ∈L
˜
L ( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
L
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
i=1,...,n(O ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )J
˜
G
˜
L
(A
˜
L
i (O ˜
M , ω) V , f V ).
On peut décomposer la somme en O ˜
M en une somme sur O ˜
L ∈ ˜
L ss (F )/ conj tel que
O ˜
L ⊂ O et une somme sur O ˜
M ∈ ˜
M ss (F )/ conj tel que O ˜
M ⊂ O ˜
L . La contribution
d’un couple ( ˜
L, O ˜
L ) est alors
񐡼
˜
M∈L
˜
L ( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
L
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O ˜
L
i=1,...,n(O ˜
M )
r
˜
L
˜
M
(k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )J
˜
G
˜
L
(A
˜
L
i (O ˜
M , ω) V , f V ).
Ceci qui n’est autre que J
˜
G
˜
L
(A
˜
L (V, O ˜
L , ω), f V ) par définition de A
˜
L (V, O ˜
L , ω). Alors
la formule (12) devient l’égalité (i) de l’énoncé.
Remarque. La même preuve montre que l’égalité (9) est vraie pour tous S, V tels
que V ram ⊂ V ⊂ S.