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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
(iii) A
˜
G (V, O, ω) = 0 sauf si, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v )
engendrée par O coupe ˜
K v ;
(iv) A
˜
G (V, O, ω) = 0 sauf si ω est trivial sur Z(G; A F )
θ et sur Z(G ˙
γ , A F ) pour
˙
γ ∈ O.
Remarque. L’égalité (i) suffit à caractériser la distribution A
˜
G (V, O, ω) par récurrence. Cela prouve en particulier que la définition (9) ne dépend pas de l’ensemble
S choisi.
Preuve. On suppose d’abord que V contient S(O) et que A
˜
G (V, O, ω) est définie
par la formule (7). Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont immédiates d’après la
définition et l’analogue de la propriété (ii) pour la distribution A
G ˙
γ
unip (V, ω, K
V
˙
γ ).
L’assertion principale (i) est à peu près celle que prouve Arthur dans [6] théorème
8.1. La seule différence avec le résultat d’Arthur est la définition de l’ensemble
S(O). Expliquons ce point. Parmi les espaces de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) tels que O ∩
˜
M (F ) = ∅, fixons un élément minimal ˜
M 1 . Au lieu de la condition (6), Arthur
impose qu’il existe un élément ˙
γ ∈ O ∩ ˜
M 1 (F ) tel que ˙
γ ∈ ˜
K v pour tout v ∈ V .
L’existence d’un tel élément défini sur F ne résulte pas de (6). Mais on peut
modifier très légèrement la preuve d’Arthur pour obtenir notre assertion. En effet,
fixons ˙
γ ∈ O ∩ ˜
M 1 (F ). On a
(10) l’hypothèse (6) entraîne que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par
M 1 (F v ) engendrée par ˙
γ coupe ˜
K
˜
M1
v .
Il y a en tout cas un x ∈ G(F v ) tel que x
−1 ˙
γx ∈ ˜
K v . Fixons ˜
P 1 = ˜
M 1 U P1 ∈
P( ˜
M 1 ). Grâce à la décomposition d’Iwasawa, on écrit x = muk, avec m ∈ M 1 (F v ),
u ∈ U P1 (F v ), k ∈ K v . On a encore (mu)
−1 ˙
γmu ∈ ˜
K v . Mais (mu)
−1 ˙
γmu = u
γ
,
avec u
∈ U P1 (F v ) et γ
= m
−1 ˙
γm ∈ ˜
M 1 (F v ). Parce que K v est en bonne position
relativement à M 1 , cela entraîne γ
∈ ˜
K
˜
M1
v . D’où (10).
Grâce à (10), on peut construire x
V
∈ M 1 (A
V
F ) tel que (x
V )
−1 ˙
γx
V
∈ ˜
K
˜
M1,V .
Dans la preuve de [6], l’élément y
des dernières lignes de la page 203 appartient
alors, non pas à K
V
˙
γ \K
V , mais à K
V
˙
γ \x
V K
V . Mais un élément de x
V K
V ne contribue pas aux fonctions v
R de la page 204 parce que ces fonctions sont invariantes à
droite par K
V et à gauche par M 1 (A F ), puisque les Levi R intervenant contiennent
M 1 . Ces éléments disparaissent et la suite de la démonstration d’Arthur s’applique
sans changement. Il reste toutefois le terme ω(x
V ) qui n’apparaissait pas dans Arthur simplement parce que celui-ci traitait le cas ω = 1. Cela prouve la proposition
dans le cas où V contient S(O).
Levons cette hypothèse et définissons A
˜
G (V, O, ω) par la formule (9). Les
propriétés (ii), (iii) et (iv) sont claires d’après cette définition et les mêmes propriétés de la distribution A
˜
G (S, O, ω). Il faut vérifier (i). Soit f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗
Mes(G(F V )). Notons f S ∈ C
∞
c ( ˜
G(F S )) ⊗ Mes(G(F S )) l’élément auquel f V s’identifie, c’est-à-dire f S = f V ⊗ 1 ˜
K V
S
, où le dernier terme est tacitement tensorisé avec
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
(iii) A
˜
G (V, O, ω) = 0 sauf si, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v )
engendrée par O coupe ˜
K v ;
(iv) A
˜
G (V, O, ω) = 0 sauf si ω est trivial sur Z(G; A F )
θ et sur Z(G ˙
γ , A F ) pour
˙
γ ∈ O.
Remarque. L’égalité (i) suffit à caractériser la distribution A
˜
G (V, O, ω) par récurrence. Cela prouve en particulier que la définition (9) ne dépend pas de l’ensemble
S choisi.
Preuve. On suppose d’abord que V contient S(O) et que A
˜
G (V, O, ω) est définie
par la formule (7). Les propriétés (ii), (iii) et (iv) sont immédiates d’après la
définition et l’analogue de la propriété (ii) pour la distribution A
G ˙
γ
unip (V, ω, K
V
˙
γ ).
L’assertion principale (i) est à peu près celle que prouve Arthur dans [6] théorème
8.1. La seule différence avec le résultat d’Arthur est la définition de l’ensemble
S(O). Expliquons ce point. Parmi les espaces de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) tels que O ∩
˜
M (F ) = ∅, fixons un élément minimal ˜
M 1 . Au lieu de la condition (6), Arthur
impose qu’il existe un élément ˙
γ ∈ O ∩ ˜
M 1 (F ) tel que ˙
γ ∈ ˜
K v pour tout v ∈ V .
L’existence d’un tel élément défini sur F ne résulte pas de (6). Mais on peut
modifier très légèrement la preuve d’Arthur pour obtenir notre assertion. En effet,
fixons ˙
γ ∈ O ∩ ˜
M 1 (F ). On a
(10) l’hypothèse (6) entraîne que, pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par
M 1 (F v ) engendrée par ˙
γ coupe ˜
K
˜
M1
v .
Il y a en tout cas un x ∈ G(F v ) tel que x
−1 ˙
γx ∈ ˜
K v . Fixons ˜
P 1 = ˜
M 1 U P1 ∈
P( ˜
M 1 ). Grâce à la décomposition d’Iwasawa, on écrit x = muk, avec m ∈ M 1 (F v ),
u ∈ U P1 (F v ), k ∈ K v . On a encore (mu)
−1 ˙
γmu ∈ ˜
K v . Mais (mu)
−1 ˙
γmu = u
γ
,
avec u
∈ U P1 (F v ) et γ
= m
−1 ˙
γm ∈ ˜
M 1 (F v ). Parce que K v est en bonne position
relativement à M 1 , cela entraîne γ
∈ ˜
K
˜
M1
v . D’où (10).
Grâce à (10), on peut construire x
V
∈ M 1 (A
V
F ) tel que (x
V )
−1 ˙
γx
V
∈ ˜
K
˜
M1,V .
Dans la preuve de [6], l’élément y
des dernières lignes de la page 203 appartient
alors, non pas à K
V
˙
γ \K
V , mais à K
V
˙
γ \x
V K
V . Mais un élément de x
V K
V ne contribue pas aux fonctions v
R de la page 204 parce que ces fonctions sont invariantes à
droite par K
V et à gauche par M 1 (A F ), puisque les Levi R intervenant contiennent
M 1 . Ces éléments disparaissent et la suite de la démonstration d’Arthur s’applique
sans changement. Il reste toutefois le terme ω(x
V ) qui n’apparaissait pas dans Arthur simplement parce que celui-ci traitait le cas ω = 1. Cela prouve la proposition
dans le cas où V contient S(O).
Levons cette hypothèse et définissons A
˜
G (V, O, ω) par la formule (9). Les
propriétés (ii), (iii) et (iv) sont claires d’après cette définition et les mêmes propriétés de la distribution A
˜
G (S, O, ω). Il faut vérifier (i). Soit f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗
Mes(G(F V )). Notons f S ∈ C
∞
c ( ˜
G(F S )) ⊗ Mes(G(F S )) l’élément auquel f V s’identifie, c’est-à-dire f S = f V ⊗ 1 ˜
K V
S
, où le dernier terme est tacitement tensorisé avec