VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
627
Cas particulier : supposons O formée d’éléments elliptiques et fortement réguliers dans ˜
G(F ). Alors la formule (7) se simplifie en
I
˜
G (A
˜
G (V, O, ω), f V ) = [Z G (γ, F ) : G γ (F )]
−1 ω(x
V ) mes(A ˜
G G ˙
γ (F )\G ˙
γ (A F ))
G ˙
γ (FV )\G(FV )
f (y
−1 ˙
γy)ω(y) dy.
Considérons maintenant un ensemble fini V de places, contenant V ram mais
pas forcément S(O). On fixe un ensemble fini S de places contenant V et S(O).
Rappelons que, pour tout espace de Levi ˜
M , l’intersection ˜
M (F )∩O se décompose
en un nombre fini de classes de conjugaison semi-simples par M (F ). Pour une telle
classe O ˜
M , on a S(O ˜
M ) ⊂ S(O). La distribution A
˜
M (S, O ˜
M , ω) (relative à ˜
K
˜
M,S )
est bien définie. On peut écrire
(8)
A
˜
M (S, O ˜
M , ω) =
i=1,...,n(O ˜
M )
k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S ⊗ A
˜
M
i (O ˜
M , ω) V ,
où
k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S ∈ D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) ⊗ Mes(M (F
V
S ))
∗
et
A
˜
M
i (O ˜
M , ω) V ∈ D orb ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
On note A
˜
G
i (O ˜
M , ω) V ∈ D orb ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ la distribution induite
de A
˜
M
i (O ˜
M , ω) V à ˜
G(F V ). On se rappelle l’application linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K
V
S ) définie
sur D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) ⊗ Mes(M (F
V
S ))
∗ en 1.13. On définit
la distribution A
˜
G (V, O, ω) par la formule
(9)
A
˜
G (V, O, ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
i=1,...,n(O ˜
M )
r
˜
G
˜
M
(k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G
i (O ˜
M , ω) V .
Proposition. La distribution A
˜
G (V, O, ω) vérifie les propriétés suivantes :
(i) pour tout f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité :
J O (f V , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O ˜
M , ω), f V );
(ii) A
˜
G (V, O, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des
éléments ˙
γ (ou plus exactement aux projections dans ˜
G(F V ) de tels éléments),
où ˙
γ ∈ ˜
G(F ) est un élément dont la partie semi-simple appartient à O ;
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Cas particulier : supposons O formée d’éléments elliptiques et fortement réguliers dans ˜
G(F ). Alors la formule (7) se simplifie en
I
˜
G (A
˜
G (V, O, ω), f V ) = [Z G (γ, F ) : G γ (F )]
−1 ω(x
V ) mes(A ˜
G G ˙
γ (F )\G ˙
γ (A F ))
G ˙
γ (FV )\G(FV )
f (y
−1 ˙
γy)ω(y) dy.
Considérons maintenant un ensemble fini V de places, contenant V ram mais
pas forcément S(O). On fixe un ensemble fini S de places contenant V et S(O).
Rappelons que, pour tout espace de Levi ˜
M , l’intersection ˜
M (F )∩O se décompose
en un nombre fini de classes de conjugaison semi-simples par M (F ). Pour une telle
classe O ˜
M , on a S(O ˜
M ) ⊂ S(O). La distribution A
˜
M (S, O ˜
M , ω) (relative à ˜
K
˜
M,S )
est bien définie. On peut écrire
(8)
A
˜
M (S, O ˜
M , ω) =
i=1,...,n(O ˜
M )
k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S ⊗ A
˜
M
i (O ˜
M , ω) V ,
où
k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S ∈ D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) ⊗ Mes(M (F
V
S ))
∗
et
A
˜
M
i (O ˜
M , ω) V ∈ D orb ( ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
On note A
˜
G
i (O ˜
M , ω) V ∈ D orb ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ la distribution induite
de A
˜
M
i (O ˜
M , ω) V à ˜
G(F V ). On se rappelle l’application linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K
V
S ) définie
sur D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) D g´ eom ( ˜
M (F
V
S ), ω) ⊗ Mes(M (F
V
S ))
∗ en 1.13. On définit
la distribution A
˜
G (V, O, ω) par la formule
(9)
A
˜
G (V, O, ω) =
˜
M∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
i=1,...,n(O ˜
M )
r
˜
G
˜
M
(k
˜
M
i (O ˜
M , ω)
V
S , ˜
K
V
S )A
˜
G
i (O ˜
M , ω) V .
Proposition. La distribution A
˜
G (V, O, ω) vérifie les propriétés suivantes :
(i) pour tout f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité :
J O (f V , ω) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
˜
M
||W
˜
G
|
−1
O ˜
M ∈ ˜
Mss(F )/ conj,O ˜
M ⊂O
J
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O ˜
M , ω), f V );
(ii) A
˜
G (V, O, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des
éléments ˙
γ (ou plus exactement aux projections dans ˜
G(F V ) de tels éléments),
où ˙
γ ∈ ˜
G(F ) est un élément dont la partie semi-simple appartient à O ;