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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
(3) supposons que la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v ;
alors l’ensemble des x ∈ G(F v ) tels que x
−1 ˙
γx ∈ ˜
K v forme une unique double
classe dans G ˙
γ (F v )\G(F v )/K v ; pour un élément x de cet ensemble, le groupe
xK v x
−1
∩ G ˙
γ (F v ) est un sous-groupe compact hyperspécial de G ˙
γ (F v ).
Preuve. Il s’agit essentiellement de la proposition 7.1 de [46], que l’on a reprise
dans le cadre tordu en [79]. L’hypothèse v ∈ V ram permet d’appliquer les résultats
de [79] chapitres 4 et 5. En particulier, on décrit ˜
G(F v ) et ˜
K v comme en [79]
4.4. Notons simplement γ l’image de ˙
γ dans ˜
G(F v ). L’hypothèse que la classe
de conjugaison de γ coupe ˜
K v signifie que γ est un élément compact dans la
terminologie de cette référence. On peut le décomposer en γ = γ tu γ p , où γ p
est un élément d’ordre fini premier à la caractéristique résiduelle p et γ tu est un
élément topologiquement unipotent de G(F v ) qui commute à γ p . Les conditions
(1) et (2) ci-dessus entraînent l’égalité G γ = G γ p . Par ailleurs, la p
-composante
d’un élément de ˜
K v appartenant aussi à ˜
K v , la condition x
−1 γx ∈ ˜
K v implique
x
−1 γ p x ∈ ˜
K v . Il reste à appliquer les lemmes [79] 5.6(ii) et 5.4(ii).
Soit V un ensemble fini de places de F contenant S(O). On va définir une
distribution A
˜
G (V, O, ω) ∈ D orb ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ . Elle est nulle sauf si
les trois conditions suivantes sont vérifiées :
(4) ω est trivial sur Z(G, A F )
θ et sur Z(G ˙
γ , A F ) pour ˙
γ ∈ O ;
(5) O est formé d’éléments elliptiques ;
(6) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O
coupe ˜
K v .
Supposons ces conditions vérifiées. On fixe ˙
γ ∈ O. Pour tout v ∈ V , on fixe
x v ∈ G(F v ) tel que x
−1
v ˙
γx v ∈ ˜
K v . On pose K ˙
γ,v = x v K v x
−1
v ∩ G ˙
γ (F v ). Puisque
˙
γ ∈ ˜
K v pour presque tout v, on peut supposer x v = 1 pour presque tout v. Alors
l’élément x
V = (x v ) v ∈V appartient à G(A
V
F ) et la famille (K ˙
γ,v ) v ∈V de compacts
hyperspéciaux vérifie la condition de compatibilité globale de 1.1. La distribution
A
G ˙
γ
unip (V, ω, K
V
˙
γ ) est bien définie. Fixons des mesures dg V sur G(F V ) et dh V sur
G ˙
γ (F V ). Soit f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), posons f V = f V ⊗ dg V . Pour y ∈ G(F V ), notons
y f V |G ˙
γ
la fonction h → f (y
−1 hγy) sur G ˙
γ (F V ). Posons
y f V |G ˙
γ
=
y f V |G ˙
γ
⊗ dh V .
On définit la distribution A
˜
G (V, O, ω) par la formule suivante :
(7)
I
˜
G (A
˜
G (V, O, ω), f V ) = [Z G ( ˙
γ, F ) : G ˙
γ (F )]
−1 ω(x
V )
G ˙
γ (FV )\G(FV )
I
G ˙
γ (A
G ˙
γ
unip (V, ω, K
V
˙
γ ),
y f V |G ˙
γ
)ω(y) dy,
où dy est la mesure
dgV
dhV sur G ˙
γ (F V )\G(F V ). On vérifie que cela ne dépend ni du
choix de ˙
γ, ni de celui de l’élément x
V , ni de celui des mesures. Par contre, la
distribution A
˜
G (V, O, ω) dépend des ˜
K v pour v ∈ V .
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
(3) supposons que la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v ;
alors l’ensemble des x ∈ G(F v ) tels que x
−1 ˙
γx ∈ ˜
K v forme une unique double
classe dans G ˙
γ (F v )\G(F v )/K v ; pour un élément x de cet ensemble, le groupe
xK v x
−1
∩ G ˙
γ (F v ) est un sous-groupe compact hyperspécial de G ˙
γ (F v ).
Preuve. Il s’agit essentiellement de la proposition 7.1 de [46], que l’on a reprise
dans le cadre tordu en [79]. L’hypothèse v ∈ V ram permet d’appliquer les résultats
de [79] chapitres 4 et 5. En particulier, on décrit ˜
G(F v ) et ˜
K v comme en [79]
4.4. Notons simplement γ l’image de ˙
γ dans ˜
G(F v ). L’hypothèse que la classe
de conjugaison de γ coupe ˜
K v signifie que γ est un élément compact dans la
terminologie de cette référence. On peut le décomposer en γ = γ tu γ p , où γ p
est un élément d’ordre fini premier à la caractéristique résiduelle p et γ tu est un
élément topologiquement unipotent de G(F v ) qui commute à γ p . Les conditions
(1) et (2) ci-dessus entraînent l’égalité G γ = G γ p . Par ailleurs, la p
-composante
d’un élément de ˜
K v appartenant aussi à ˜
K v , la condition x
−1 γx ∈ ˜
K v implique
x
−1 γ p x ∈ ˜
K v . Il reste à appliquer les lemmes [79] 5.6(ii) et 5.4(ii).
Soit V un ensemble fini de places de F contenant S(O). On va définir une
distribution A
˜
G (V, O, ω) ∈ D orb ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ . Elle est nulle sauf si
les trois conditions suivantes sont vérifiées :
(4) ω est trivial sur Z(G, A F )
θ et sur Z(G ˙
γ , A F ) pour ˙
γ ∈ O ;
(5) O est formé d’éléments elliptiques ;
(6) pour tout v ∈ V , la classe de conjugaison par G(F v ) engendrée par O
coupe ˜
K v .
Supposons ces conditions vérifiées. On fixe ˙
γ ∈ O. Pour tout v ∈ V , on fixe
x v ∈ G(F v ) tel que x
−1
v ˙
γx v ∈ ˜
K v . On pose K ˙
γ,v = x v K v x
−1
v ∩ G ˙
γ (F v ). Puisque
˙
γ ∈ ˜
K v pour presque tout v, on peut supposer x v = 1 pour presque tout v. Alors
l’élément x
V = (x v ) v ∈V appartient à G(A
V
F ) et la famille (K ˙
γ,v ) v ∈V de compacts
hyperspéciaux vérifie la condition de compatibilité globale de 1.1. La distribution
A
G ˙
γ
unip (V, ω, K
V
˙
γ ) est bien définie. Fixons des mesures dg V sur G(F V ) et dh V sur
G ˙
γ (F V ). Soit f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )), posons f V = f V ⊗ dg V . Pour y ∈ G(F V ), notons
y f V |G ˙
γ
la fonction h → f (y
−1 hγy) sur G ˙
γ (F V ). Posons
y f V |G ˙
γ
=
y f V |G ˙
γ
⊗ dh V .
On définit la distribution A
˜
G (V, O, ω) par la formule suivante :
(7)
I
˜
G (A
˜
G (V, O, ω), f V ) = [Z G ( ˙
γ, F ) : G ˙
γ (F )]
−1 ω(x
V )
G ˙
γ (FV )\G(FV )
I
G ˙
γ (A
G ˙
γ
unip (V, ω, K
V
˙
γ ),
y f V |G ˙
γ
)ω(y) dy,
où dy est la mesure
dgV
dhV sur G ˙
γ (F V )\G(F V ). On vérifie que cela ne dépend ni du
choix de ˙
γ, ni de celui de l’élément x
V , ni de celui des mesures. Par contre, la
distribution A
˜
G (V, O, ω) dépend des ˜
K v pour v ∈ V .