VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
625
que le normalisateur de S
dans G(F v ) est contenu dans le produit de K
v et du
centralisateur de S
dans G(F v ). Ce dernier groupe est contenu dans M 0 (F v ).
On obtient que h v g v r v ∈ K
v M 0 (F v ). Puisque h v ∈ K
v et r v ∈ M 0 (F v ), on
a aussi g v ∈ K
v M 0 (F v ). Ecrivons donc g v = k v m v , avec k v ∈ K
v et m v ∈
M 0 (F v ). Remarquons que K
v = ad k
−1
v
(K
v ) = ad k
−1
v gv (K
v ) = ad mv (K
v ). Dans la
relation (4), remplaçons K
V par K
V et x par un élément m ∈ M 0 (A F ) dont les
composantes hors de V sont les m v . On obtient l’égalité
A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ) = ω(m
V )
−1 A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ).
Les égalités y v x
−1
v = g v = k v m v pour tout v ∈ V entraînent
ω(m
V ) = ω(y
V )ω(x
V )
−1 .
L’égalité ci-dessus devient
ω(y
V )A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ) = ω(x
V )A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ).
Cela démontre que notre définition ne dépend pas du choix de x
V . Changeons
maintenant de Levi M 0 . Cela signifie qu’on le remplace par ad g (M 0 ) pour un
g ∈ G(F ). D’après l’indépendance déjà prouvée de x
V , on peut remplacer x
V par
g
V x
V , où g
V est la projection de g dans G(A
V
F ). La relation à prouver devient
ω(x
V )A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ) = ω(g
V x
V )A
G
unip (V, ω, ad g (M 0 ), ad g V (K
V )).
Cela résulte de (4).
VI.2.3 Les distributions associées à une classe rationnelle semi-simple
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit O ∈ ˜
G ss (F )/ conj. Fixons ˙
γ ∈ O
et une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) (définie sur ¯
F ) de sorte que ˙
γ
conserve (B, T ). Fixons e ∈ Z( ˜
G, E) et posons θ = ad e . En notant Σ(T ) l’ensemble
des racines de T dans G, on sait définir N α pour tout α ∈ Σ(T ) : c’est la somme
des éléments de l’orbite de α sous l’action du groupe d’automorphismes engendré
par θ. On peut écrire ˙
γ = te, avec t ∈ T . En fait, on peut fixer une extension
finie E de F telle que t ∈ T (E). On a alors (N α)(t) ∈ E
× pour tout α. On note
S(O) le plus petit ensemble de places de F contenant V ram et tel que les propriétés
suivantes soient vérifiées. Soit w une place de E au-dessus d’une place v ∈ S(O).
Notons o
×
w le groupe des unités de E w et E w le corps résiduel. Alors
(1) pour tout α ∈ Σ(T ), on a (N α)(t) ∈ o
×
w ;
(2) pour tous α ∈ Σ(T ), si (N α)(t) = ±1, alors la réduction dans E w de (N α)(t)
n’est pas égale à ±1.
On voit que cette définition ne dépend pas des choix auxiliaires, en particulier
ne dépend pas du choix de ˙
γ. Soit v ∈ S(O). On a