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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
est un tore. Dans ce cas, soit f V ∈ C
∞
c (G(F V )) et dg V une mesure sur G(F V ), qui
s’identifie à une mesure sur G(A F ) par produit avec les mesures canoniques sur
G(F v ) pour v ∈ V . Posons f V = f V ⊗ dg V . Alors
I
G (A
G
unip (V, ω), f V ) = mes(A G G(F )\G(A F ))f V (1).
La distribution A
G
unip (V, ω) dépend, comme la partie géométrique de la formule des traces non-invariante, des choix du Levi minimal M 0 et des compacts
K v pour tout v. Rappelons que ceux-ci sont supposés en bonne position relativement à M 0 . Arthur montre que A
G
unip (V, ω) ne dépend pas des K v pour v ∈ V
([2] proposition 13.2). Notons plus précisément A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ) notre distribution. Soit x ∈ G(F )M 0 (A F ), remplaçons M 0 et les K v par M
0 = ad x (M 0 ) et
les K
v = ad x (K v ). Un raisonnement par transport de structure montre que
(4)
A
G
unip (V, ω, M
0 , K
V ) = ω(x
V )
−1 A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ),
où x
V est la projection de x dans G(A
V
F ). On peut alors modifier formellement
la définition de la façon suivante. On oublie pour un temps les objets fixés en
1.1. Pour tout v ∈ V , soit K v un sous-groupe compact hyperspécial de G(F v ).
On suppose comme en 1.1 que K v = G(o v ) pour presque tout v. Fixons un Levi
minimal M 0 . On peut choisir x
V = (x v ) v ∈V ∈ G(A
V
F ) de sorte que, pour tout
v ∈ V , K
v = ad xv (K v ) soit en bonne position relativement à M 0 . On pose
A
G
unip (V, ω, K
V ) = ω(x
V )A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ).
On doit prouver
(5) cette définition ne dépend pas des choix de x
V et M 0 .
Preuve. Montrons d’abord que, pour M 0 fixé, la définition ne dépend pas de x
V .
Choisissons y
V = (y v ) v ∈V ∈ G(A
V
F ) tel que, pour tout v ∈ V , K
v = ad yv (K v )
soit en bonne position relativement à M 0 . Soit v ∈ V . Notons o
v et o
v les points
hyperspéciaux de l’immeuble de G AD sur F v qui sont fixés respectivement par K
v
et K
v . Notons S v l’ensemble des sous-tores de M 0 définis et déployés sur F v , qui
sont maximaux parmi les sous-tores vérifiant ces conditions. Pour S ∈ S v , notons
A(S) l’appartement de l’immeuble associé à S. Les deux groupes K
v et K
v sont
en bonne position relativement à M 0 . Cela signifie que l’on peut fixer des soustores S
, S
∈ S v de sorte que o
v appartienne à l’appartement A(S
) et que o
v
appartienne à l’appartement A(S
). Posons g v = y v x
−1
v . On a K
v = ad gv (K
v ).
Donc o
v appartient à A(ad gv (S
)). Puisque o
v est hyperspécial, le fait que o
v
appartienne à la fois à A(S
) et à A(ad gv (S
)) entraîne que les deux tores S
et ad gv (S
) sont conjugués par un élément de K
v . Fixons un élément h v ∈ K
v
tel que S
= ad hvgv (S
). L’ensemble S v forme une seule classe de conjugaison
par M 0 (F v ). Fixons donc r v ∈ M 0 (F v ) de sorte que S
= ad rv (S
). On obtient
que h v g v r v appartient au normalisateur de S
dans G(F v ). Comme on le sait,
tout élément du groupe de Weyl de S
a un représentant dans K
v . Cela entraîne
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
est un tore. Dans ce cas, soit f V ∈ C
∞
c (G(F V )) et dg V une mesure sur G(F V ), qui
s’identifie à une mesure sur G(A F ) par produit avec les mesures canoniques sur
G(F v ) pour v ∈ V . Posons f V = f V ⊗ dg V . Alors
I
G (A
G
unip (V, ω), f V ) = mes(A G G(F )\G(A F ))f V (1).
La distribution A
G
unip (V, ω) dépend, comme la partie géométrique de la formule des traces non-invariante, des choix du Levi minimal M 0 et des compacts
K v pour tout v. Rappelons que ceux-ci sont supposés en bonne position relativement à M 0 . Arthur montre que A
G
unip (V, ω) ne dépend pas des K v pour v ∈ V
([2] proposition 13.2). Notons plus précisément A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ) notre distribution. Soit x ∈ G(F )M 0 (A F ), remplaçons M 0 et les K v par M
0 = ad x (M 0 ) et
les K
v = ad x (K v ). Un raisonnement par transport de structure montre que
(4)
A
G
unip (V, ω, M
0 , K
V ) = ω(x
V )
−1 A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ),
où x
V est la projection de x dans G(A
V
F ). On peut alors modifier formellement
la définition de la façon suivante. On oublie pour un temps les objets fixés en
1.1. Pour tout v ∈ V , soit K v un sous-groupe compact hyperspécial de G(F v ).
On suppose comme en 1.1 que K v = G(o v ) pour presque tout v. Fixons un Levi
minimal M 0 . On peut choisir x
V = (x v ) v ∈V ∈ G(A
V
F ) de sorte que, pour tout
v ∈ V , K
v = ad xv (K v ) soit en bonne position relativement à M 0 . On pose
A
G
unip (V, ω, K
V ) = ω(x
V )A
G
unip (V, ω, M 0 , K
V ).
On doit prouver
(5) cette définition ne dépend pas des choix de x
V et M 0 .
Preuve. Montrons d’abord que, pour M 0 fixé, la définition ne dépend pas de x
V .
Choisissons y
V = (y v ) v ∈V ∈ G(A
V
F ) tel que, pour tout v ∈ V , K
v = ad yv (K v )
soit en bonne position relativement à M 0 . Soit v ∈ V . Notons o
v et o
v les points
hyperspéciaux de l’immeuble de G AD sur F v qui sont fixés respectivement par K
v
et K
v . Notons S v l’ensemble des sous-tores de M 0 définis et déployés sur F v , qui
sont maximaux parmi les sous-tores vérifiant ces conditions. Pour S ∈ S v , notons
A(S) l’appartement de l’immeuble associé à S. Les deux groupes K
v et K
v sont
en bonne position relativement à M 0 . Cela signifie que l’on peut fixer des soustores S
, S
∈ S v de sorte que o
v appartienne à l’appartement A(S
) et que o
v
appartienne à l’appartement A(S
). Posons g v = y v x
−1
v . On a K
v = ad gv (K
v ).
Donc o
v appartient à A(ad gv (S
)). Puisque o
v est hyperspécial, le fait que o
v
appartienne à la fois à A(S
) et à A(ad gv (S
)) entraîne que les deux tores S
et ad gv (S
) sont conjugués par un élément de K
v . Fixons un élément h v ∈ K
v
tel que S
= ad hvgv (S
). L’ensemble S v forme une seule classe de conjugaison
par M 0 (F v ). Fixons donc r v ∈ M 0 (F v ) de sorte que S
= ad rv (S
). On obtient
que h v g v r v appartient au normalisateur de S
dans G(F v ). Comme on le sait,
tout élément du groupe de Weyl de S
a un représentant dans K
v . Cela entraîne