VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
623
Alors H ˜
G (a) = − ˜
H ˜
GV (γ V ) et, puisque ˜
U V est compact, a reste dans un compact.
Cela prouve (ii). Quitte à agrandir ˜
U V , on peut donc supposer que, pour O et γ
comme ci-dessus, la classe de conjugaison de γ par G(F V ) coupe ˜
U V . On peut fixer
x V ∈ G(F V ) tel que x
−1
V γx V ∈ ˜
U V et, pour tout v ∈ V , un élément x v ∈ G(F v )
tel que x
−1
v γx v ∈ ˜
K v . Mais γ ∈ ˜
K v pour presque tout v. On peut donc supposer
x v = 1 pour presque tout v. Les éléments x V et (x v ) v ∈V se regroupent alors en
un élément x ∈ G(A F ) tel que x
−1 γx ∈ ˜
U , où ˜
U = ˜
U V × (
v ∈V
˜
K v ). La classe de
conjugaison par G(A F ) de γ coupe donc ˜
U et il reste à appliquer le lemme 3.7.4
de [55].
On a
(3)
J
˜
G
g´ eom (f , ω) =
O∈ ˜
Gss(F )/ conj
J O (f , ω).
Notons que tous ces termes sont nuls si ω n’est pas trivial sur Z(G; A F )
θ .
Cas particulier. Dans le cas où ˜
G = G, ˜
K v = K v pour tout v ∈ V ram et O = {1},
on remplace l’indice O par unip dans les termes définis ci-dessus et on ajoute
l’exposant G. Par exemple J
G
unip (f , ω) = J {1} (f , ω).
VI.2.2 Le terme unipotent de la formule des traces non invariante
Soient V un ensemble fini de places contenant V ram et O ∈ ˜
G ss (F )/ conj. On a dit
en 1.1 que l’on pouvait identifier C
∞
c ( ˜
G(F V )) à un sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(A F )) et
identifier Mes(G(F V )) à Mes(G(A F )). Pour f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), le
terme J O (f V , ω) est donc bien défini.
On considère dans ce paragraphe le cas où ˜
G = G, ˜
K v = K v pour tout
v ∈ V ram et où O = 1. En [5] théorème 8.1, Arthur prouve l’existence d’une
distribution A
G
unip (V, ω) ∈ D orb (G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ qui vérifie les propriétés
suivantes :
(1) pour tout f V ∈ C
∞
c (G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité :
I
G (A
G
unip (V, ω), f V ) = J
G
unip (f V , ω) −
M∈L(M0),M =G
|W
M
||W
G
|
−1
J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V );
(2) A
G
unip (V, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des éléments unipotents u ∈ G(F ), ou plus exactement aux projections dans G(F V )
de tels éléments ;
(3) A
G
unip (V, ω) = 0 si ω n’est pas trivial sur Z(G, A F ).
Supposons ω trivial sur Z(G, A F ). En général, on ne sait pas expliciter la
distribution A
G
unip (V, ω). On peut toutefois la calculer dans le cas particulier où G
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Alors H ˜
G (a) = − ˜
H ˜
GV (γ V ) et, puisque ˜
U V est compact, a reste dans un compact.
Cela prouve (ii). Quitte à agrandir ˜
U V , on peut donc supposer que, pour O et γ
comme ci-dessus, la classe de conjugaison de γ par G(F V ) coupe ˜
U V . On peut fixer
x V ∈ G(F V ) tel que x
−1
V γx V ∈ ˜
U V et, pour tout v ∈ V , un élément x v ∈ G(F v )
tel que x
−1
v γx v ∈ ˜
K v . Mais γ ∈ ˜
K v pour presque tout v. On peut donc supposer
x v = 1 pour presque tout v. Les éléments x V et (x v ) v ∈V se regroupent alors en
un élément x ∈ G(A F ) tel que x
−1 γx ∈ ˜
U , où ˜
U = ˜
U V × (
v ∈V
˜
K v ). La classe de
conjugaison par G(A F ) de γ coupe donc ˜
U et il reste à appliquer le lemme 3.7.4
de [55].
On a
(3)
J
˜
G
g´ eom (f , ω) =
O∈ ˜
Gss(F )/ conj
J O (f , ω).
Notons que tous ces termes sont nuls si ω n’est pas trivial sur Z(G; A F )
θ .
Cas particulier. Dans le cas où ˜
G = G, ˜
K v = K v pour tout v ∈ V ram et O = {1},
on remplace l’indice O par unip dans les termes définis ci-dessus et on ajoute
l’exposant G. Par exemple J
G
unip (f , ω) = J {1} (f , ω).
VI.2.2 Le terme unipotent de la formule des traces non invariante
Soient V un ensemble fini de places contenant V ram et O ∈ ˜
G ss (F )/ conj. On a dit
en 1.1 que l’on pouvait identifier C
∞
c ( ˜
G(F V )) à un sous-espace de C
∞
c ( ˜
G(A F )) et
identifier Mes(G(F V )) à Mes(G(A F )). Pour f V ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), le
terme J O (f V , ω) est donc bien défini.
On considère dans ce paragraphe le cas où ˜
G = G, ˜
K v = K v pour tout
v ∈ V ram et où O = 1. En [5] théorème 8.1, Arthur prouve l’existence d’une
distribution A
G
unip (V, ω) ∈ D orb (G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ qui vérifie les propriétés
suivantes :
(1) pour tout f V ∈ C
∞
c (G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité :
I
G (A
G
unip (V, ω), f V ) = J
G
unip (f V , ω) −
M∈L(M0),M =G
|W
M
||W
G
|
−1
J
G
M (A
M
unip (V, ω), f V );
(2) A
G
unip (V, ω) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales associées à des éléments unipotents u ∈ G(F ), ou plus exactement aux projections dans G(F V )
de tels éléments ;
(3) A
G
unip (V, ω) = 0 si ω n’est pas trivial sur Z(G, A F ).
Supposons ω trivial sur Z(G, A F ). En général, on ne sait pas expliciter la
distribution A
G
unip (V, ω). On peut toutefois la calculer dans le cas particulier où G