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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Soit T ∈ A ˜
M0 assez positif relativement à ˜
P 0 . On pose
k
T
g´ eom (f, g) =
˜
P ⊃ ˜
P0
(−1)
a ˜
P −a ˜
G
ξ∈P (F )\G(F )
ˆ
τ ˜
P (H ˜
P (ξg) − T )K ˜
P (f, ξg),
puis
J
T
g´ eom (f, ω) =
A ˜
G G(F )\G(AF )
k
T
g´ eom (f, g)ω(g) dg.
Quand T tend vers l’infini dans la chambre positive déterminée par ˜
P 0 , cette
expression est asymptote à un polynôme en T . Alors J
˜
G
g´ eom (f , ω) est la valeur de
ce polynôme au point T 0 défini en [55] lemme 3.3.3.
On note ˜
G ss (F ), resp. ˜
G(F ) ell , l’ensemble des éléments semi-simples de ˜
G(F ),
resp. celui des éléments semi-simples et elliptiques. On note ˜
G ss (F )/ conj, resp.
˜
G(F ) ell / conj, l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) dans ˜
G ss (F ), resp.
˜
G(F ) ell .
Remarque. Puisque F est un corps de nombres, les deux définitions possibles
de l’ellipticité sont équivalentes. C’est-à-dire que, pour un élément semi-simple
γ ∈ ˜
G(F ), γ est elliptique si et seulement s’il vérifie les conditions équivalentes :
(1) il existe un sous-tore tordu maximal ˜
T de ˜
G défini sur Q et elliptique tel que
γ ∈ ˜
T (F ) ;
(2) A Gγ = A ˜
G .
Soit O ∈ ˜
G ss (F )/ conj. Pour un espace parabolique standard ˜
P , on définit
une fonction K ˜
P ,O (f ) en restreignant dans la définition ci-dessus la somme sur
γ ∈ ˜
P (F ) aux γ dont la partie semi-simple appartient à O. En poursuivant comme
ci-dessus, on construit des termes k
T
O (f, g), J
T
O (f, ω), puis J O (f , ω) (ou J
˜
G
O (f , ω)
s’il est bon de préciser l’espace). Tous ces termes sont nuls sauf si la classe de
conjugaison par G(A F ) engendrée par O coupe le support de f . Il n’y a qu’un
nombre fini de O vérifiant cette condition, en vertu du lemme suivant. En vue
d’une application ultérieure, on énonce celui-ci sous une forme plus forte qu’il
n’est à présent nécessaire.
Lemme. Soit V un ensemble fini de places contenant V ram . Soit ˜
U V un sousensemble compact de ˜
G(F V ). Considérons l’ensemble Ξ des classes de conjugaison
O par G(F ) d’éléments semi-simples de ˜
G(F ) telles que la classe de conjugaison
O V par G(F V ) engendrée par O coupe A ˜
G
˜
U V et que, pour tout v ∈ V , la classe
de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v . Alors
(i) Ξ est fini ;
(ii) il existe un sous-ensemble compact C ⊂ A ˜
G tel que, pour tout O ∈ Ξ, O V ∩
A ˜
G
˜
U V soit contenu dans C ˜
U V .
Preuve. Soient O ∈ Ξ et γ ∈ O. Les conditions imposées hors de V et la définition
de ˜
H ˜
GV entraînent que ˜
H ˜
GV (γ) = 0. Soit a ∈ A ˜
G et γ V ∈ ˜
U V tels que aγ V ∈ O V .
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Soit T ∈ A ˜
M0 assez positif relativement à ˜
P 0 . On pose
k
T
g´ eom (f, g) =
˜
P ⊃ ˜
P0
(−1)
a ˜
P −a ˜
G
ξ∈P (F )\G(F )
ˆ
τ ˜
P (H ˜
P (ξg) − T )K ˜
P (f, ξg),
puis
J
T
g´ eom (f, ω) =
A ˜
G G(F )\G(AF )
k
T
g´ eom (f, g)ω(g) dg.
Quand T tend vers l’infini dans la chambre positive déterminée par ˜
P 0 , cette
expression est asymptote à un polynôme en T . Alors J
˜
G
g´ eom (f , ω) est la valeur de
ce polynôme au point T 0 défini en [55] lemme 3.3.3.
On note ˜
G ss (F ), resp. ˜
G(F ) ell , l’ensemble des éléments semi-simples de ˜
G(F ),
resp. celui des éléments semi-simples et elliptiques. On note ˜
G ss (F )/ conj, resp.
˜
G(F ) ell / conj, l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) dans ˜
G ss (F ), resp.
˜
G(F ) ell .
Remarque. Puisque F est un corps de nombres, les deux définitions possibles
de l’ellipticité sont équivalentes. C’est-à-dire que, pour un élément semi-simple
γ ∈ ˜
G(F ), γ est elliptique si et seulement s’il vérifie les conditions équivalentes :
(1) il existe un sous-tore tordu maximal ˜
T de ˜
G défini sur Q et elliptique tel que
γ ∈ ˜
T (F ) ;
(2) A Gγ = A ˜
G .
Soit O ∈ ˜
G ss (F )/ conj. Pour un espace parabolique standard ˜
P , on définit
une fonction K ˜
P ,O (f ) en restreignant dans la définition ci-dessus la somme sur
γ ∈ ˜
P (F ) aux γ dont la partie semi-simple appartient à O. En poursuivant comme
ci-dessus, on construit des termes k
T
O (f, g), J
T
O (f, ω), puis J O (f , ω) (ou J
˜
G
O (f , ω)
s’il est bon de préciser l’espace). Tous ces termes sont nuls sauf si la classe de
conjugaison par G(A F ) engendrée par O coupe le support de f . Il n’y a qu’un
nombre fini de O vérifiant cette condition, en vertu du lemme suivant. En vue
d’une application ultérieure, on énonce celui-ci sous une forme plus forte qu’il
n’est à présent nécessaire.
Lemme. Soit V un ensemble fini de places contenant V ram . Soit ˜
U V un sousensemble compact de ˜
G(F V ). Considérons l’ensemble Ξ des classes de conjugaison
O par G(F ) d’éléments semi-simples de ˜
G(F ) telles que la classe de conjugaison
O V par G(F V ) engendrée par O coupe A ˜
G
˜
U V et que, pour tout v ∈ V , la classe
de conjugaison par G(F v ) engendrée par O coupe ˜
K v . Alors
(i) Ξ est fini ;
(ii) il existe un sous-ensemble compact C ⊂ A ˜
G tel que, pour tout O ∈ Ξ, O V ∩
A ˜
G
˜
U V soit contenu dans C ˜
U V .
Preuve. Soient O ∈ Ξ et γ ∈ O. Les conditions imposées hors de V et la définition
de ˜
H ˜
GV entraînent que ˜
H ˜
GV (γ) = 0. Soit a ∈ A ˜
G et γ V ∈ ˜
U V tels que aγ V ∈ O V .