VI.2. La partie géométrique de la formule des traces
621
– ˜
L p ⊃ ˜
M p,0 pour tout p ∈ Π
L ;
– ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
L p ) = ˜
L p pour tous p ∈ Π
L , p
∈ Π
M0 .
Plus généralement, pour K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M ∈ L( ˜
M 0 ), on note L(K ˜
M ) l’ensemble des K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L ∈ L(K ˜
M 0 ) tels que Π
M
⊂ Π
L et ˜
M p ⊂ ˜
L p pour tout
p ∈ Π
M . On définit de façon similaire les ensembles P(K ˜
M ) et F (K ˜
M ).
Dans la suite, on travaillera avec un triplet (G, ˜
G, a) comme en 1.1, en n’introduisant les K-espaces que lorsque cela sera indispensable. Dans ce cas, on supposera fixé un espace de Levi minimal K ˜
M 0 .
VI.2 La partie géométrique de la formule des traces
VI.2.1 La partie géométrique de la formule des traces non invariante
On a défini en 1.1 le noyau G(A F )
1 de l’homomorphisme H ˜
G (contrairement à ce
que suggère la notation, ce groupe dépend de ˜
G et pas seulement de G). On a la
décomposition en produit direct G(A F ) = A ˜
G × G(A F )
1 . On note ˜
G(A F )
1 l’ensemble des γ ∈ ˜
G(A F ) tels que ˜
H ˜
G (γ) = 0 (c’est-à-dire ˜
G(A F )
1 = G(A F )
1 ˜
G(F )).
On a encore la décomposition en produit direct ˜
G(A F ) = A ˜
G × ˜
G(A F )
1 .
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )). C’est-à-dire que f est combinaison linéaire de fonctions ⊗ v∈Val(F ) f v où, pour tout v, f v ∈ C
∞
c ( ˜
G(F v )) et, pour presque tout v,
f v = 1 ˜
Kv . Pour un instant, définissons l’espace ¯
C
∞
c ( ˜
G(A F )) un peu plus gros que
C
∞
c ( ˜
G(A F )), obtenu en remplaçant la composante archimédienne
⊗ v∈Val∞(F ) C
∞
c ( ˜
G(F v )) par C
∞
c
v∈Val∞(F )
˜
G(F v )
.
Introduisons une fonction ϕ ∈ ¯
C
∞
c ( ˜
G(A F )) telle que
f (γ) =
A ˜
G
ϕ
a (γ) da
pour tout γ ∈ ˜
G(A F )
1 , où ϕ
a est la fonction ϕ
a (γ) = ϕ(aγ). Fixons une mesure de
Haar dg sur G(A F ). Posons f = f ⊗ dg ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )) ⊗ Mes(G(A F )). Nous notons
J
˜
G
g´ eom (f , ω) le membre de gauche de l’égalité du théorème 11.3.2 de [55] appliqué
à la fonction ϕ, multiplié par | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 . Dans le cas où ω = 1, c’est
aussi le terme qu’Arthur note J g´ eom (f
1 ), où f
1 est la restriction de f à ˜
G(A F )
1 . .
Rappelons la définition pour mémoire. On renvoie à [55] pour les notations,
qui sont d’ailleurs les notations standard. Pour un espace parabolique standard
˜
P = ˜
MU P , on définit une fonction K ˜
P (f ) sur G(A F ) par
K ˜
P (f, g) =
UP (F )\UP (AF )
γ∈ ˜
P (F )
f (g
−1 γug) du.
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– ˜
L p ⊃ ˜
M p,0 pour tout p ∈ Π
L ;
– ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
L p ) = ˜
L p pour tous p ∈ Π
L , p
∈ Π
M0 .
Plus généralement, pour K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M ∈ L( ˜
M 0 ), on note L(K ˜
M ) l’ensemble des K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L ∈ L(K ˜
M 0 ) tels que Π
M
⊂ Π
L et ˜
M p ⊂ ˜
L p pour tout
p ∈ Π
M . On définit de façon similaire les ensembles P(K ˜
M ) et F (K ˜
M ).
Dans la suite, on travaillera avec un triplet (G, ˜
G, a) comme en 1.1, en n’introduisant les K-espaces que lorsque cela sera indispensable. Dans ce cas, on supposera fixé un espace de Levi minimal K ˜
M 0 .
VI.2 La partie géométrique de la formule des traces
VI.2.1 La partie géométrique de la formule des traces non invariante
On a défini en 1.1 le noyau G(A F )
1 de l’homomorphisme H ˜
G (contrairement à ce
que suggère la notation, ce groupe dépend de ˜
G et pas seulement de G). On a la
décomposition en produit direct G(A F ) = A ˜
G × G(A F )
1 . On note ˜
G(A F )
1 l’ensemble des γ ∈ ˜
G(A F ) tels que ˜
H ˜
G (γ) = 0 (c’est-à-dire ˜
G(A F )
1 = G(A F )
1 ˜
G(F )).
On a encore la décomposition en produit direct ˜
G(A F ) = A ˜
G × ˜
G(A F )
1 .
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )). C’est-à-dire que f est combinaison linéaire de fonctions ⊗ v∈Val(F ) f v où, pour tout v, f v ∈ C
∞
c ( ˜
G(F v )) et, pour presque tout v,
f v = 1 ˜
Kv . Pour un instant, définissons l’espace ¯
C
∞
c ( ˜
G(A F )) un peu plus gros que
C
∞
c ( ˜
G(A F )), obtenu en remplaçant la composante archimédienne
⊗ v∈Val∞(F ) C
∞
c ( ˜
G(F v )) par C
∞
c
v∈Val∞(F )
˜
G(F v )
.
Introduisons une fonction ϕ ∈ ¯
C
∞
c ( ˜
G(A F )) telle que
f (γ) =
A ˜
G
ϕ
a (γ) da
pour tout γ ∈ ˜
G(A F )
1 , où ϕ
a est la fonction ϕ
a (γ) = ϕ(aγ). Fixons une mesure de
Haar dg sur G(A F ). Posons f = f ⊗ dg ∈ C
∞
c ( ˜
G(A F )) ⊗ Mes(G(A F )). Nous notons
J
˜
G
g´ eom (f , ω) le membre de gauche de l’égalité du théorème 11.3.2 de [55] appliqué
à la fonction ϕ, multiplié par | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 . Dans le cas où ω = 1, c’est
aussi le terme qu’Arthur note J g´ eom (f
1 ), où f
1 est la restriction de f à ˜
G(A F )
1 . .
Rappelons la définition pour mémoire. On renvoie à [55] pour les notations,
qui sont d’ailleurs les notations standard. Pour un espace parabolique standard
˜
P = ˜
MU P , on définit une fonction K ˜
P (f ) sur G(A F ) par
K ˜
P (f, g) =
UP (F )\UP (AF )
γ∈ ˜
P (F )
f (g
−1 γug) du.